Cho $x$ , $y$ thỏa mãn $x + y > 0$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = 2 (x^{3} + y^{3}) - 3 \sqrt{x + y}$

P_{min} = 0

P_{min} = - 1

P_{min} = - \frac{5}{2}

P_{min} = 4 - 3 \sqrt{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

P = 2 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) - 3 \sqrt{x + y} = 2 (x + y) ({(x + y)}^{2} - 3 x y) - 3 \sqrt{x + y}

Vì

- x y \geq - {(\frac{x + y}{2})}^{2}

nên

P \geq 2 (x + y) ({(x + y)}^{2} - 3 {(\frac{x + y}{2})}^{2}) - 3 \sqrt{x + y} = \frac{1}{2} {(x + y)}^{3} - 3 \sqrt{x + y}

.
Đặt

t = \sqrt{x + y} > 0

ta được

P = \frac{1}{2} t^{6} - 3 t

và xét hàm số

f (t) = \frac{1}{2} t^{6} - 3 t

t > 0

.
Ta có

f^{'} (t) = 3 t^{5} - 3; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1

.
Ta có bảng biến thiên:

Như vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

bằng

\frac{- 5}{2}

khi

x = y = \frac{1}{2}

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học