Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B$ , $B C$ . Điểm $I$ thuộc đoạn $S A$ . Biết mặt phẳng $(M N I)$ chia khối chọp $S . A B C D$ thành hai phần, phần chứa đỉnh $S$ có thể tích bằng $\frac{7}{13}$ lần phần còn lại. Tính tỉ số $k = \frac{I A}{I S}$ ?

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{1}{3}

\frac{3}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Mặt phẳng

(M N I)

cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1. Đặt

V_{S . A B C D} = V

.
Ta có

S_{Δ A P M} = S_{Δ B M N} = \frac{1}{4} S_{Δ A B C} = \frac{1}{8} S_{A B C D} \Rightarrow \frac{S_{Δ A P M}}{S_{A B C D}} = \frac{1}{8}

\frac{d (I, (A B C D))}{d (S, (A B C D))} = \frac{I A}{S A} = \frac{k}{k + 1}

\Rightarrow \frac{V_{I . A P M}}{V_{S . A B C D}} = \frac{S_{Δ A P M}}{S_{A B C D}} . \frac{d (I, (A B C D))}{d (S, (A B C D))} = \frac{k}{8 (k + 1)} \Rightarrow V_{I . A P M} = \frac{k}{8 (k + 1)} V

.
Do

M N / / A C \Rightarrow I K / / A C \Rightarrow I K / / (A B C D) \Rightarrow d (I; (A B C D)) = d (K; (A B C D))

.
Mà

S_{Δ A P M} = S_{Δ N C Q}

\Rightarrow V_{I . A P M} = V_{K . N C Q} = \frac{k}{8 (k + 1)} V

.
Kẻ

I H / / S D

(

H \in S D

) như hình 2. Ta có :

\frac{I H}{S D} = \frac{A H}{A D} = \frac{A I}{A S} = \frac{k}{k + 1}

\frac{I H}{E D} = \frac{P H}{P D} = \frac{P A}{P D} + \frac{A H}{P D} = \frac{P A}{P D} + \frac{2 A H}{3 A D} = \frac{1}{3} + \frac{2 k}{3 (k + 1)} = \frac{3 k + 1}{3 (k + 1)}

\Rightarrow \frac{E D}{S D} = \frac{I H}{S D} : \frac{I D}{E D} = \frac{3 k}{3 k + 1}

\Rightarrow \frac{d (E, (A B C D))}{d (S, (A B C D))} = \frac{E D}{S D} = \frac{3 k}{3 k + 1}

\frac{S_{Δ P Q D}}{S_{A B C D}} = \frac{9}{8}

\Rightarrow \frac{V_{E . P Q D}}{V_{S . A B C D}} = \frac{27 k}{24 k + 8} \Rightarrow V_{E . P Q D} = \frac{27 k}{24 k + 8} V

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{27 k}{8 (3 k + 1)} V - \frac{k}{8 (k + 1)} V - \frac{k}{8 (k + 1)} V = \frac{13}{20} V \\ \Leftrightarrow \frac{27 k}{2 (3 k + 1)} - \frac{k}{k + 1} = \frac{13}{5} \Leftrightarrow k = \frac{2}{3} \end{array}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học