Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy là hình vuông tâm $O$ , $S A = a \sqrt{6}$ , $S A$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $(S B C)$ tạo với đáy góc $φ$ sao cho $\tan φ = \sqrt{6}$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $S C D$ . Tính thể tích khối tứ diện $S O G C$ .

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{36}

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{24}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Ta có:

\{\begin{matrix} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{matrix} \Rightarrow B C ⊥ S B .

Như vậy

\{\begin{matrix} (S B C) \cap (A B C D) = B C \\ B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S B \end{matrix}

\Rightarrow (\hat{(S B C); (A B C D)}) = (\hat{A B; S B}) = \hat{S B A} = φ .

Trong tam giác

S A B

vuông tại

A

\tan φ = \frac{S A}{A B} \Leftrightarrow \sqrt{6} = \frac{a \sqrt{6}}{A B} \Leftrightarrow A B = a .

Gọi

I

là trung điểm

C D

, trọng tâm

G

của tam giác

S C D

G

thuộc

S I

.
Có

V_{S . O C I} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ O I C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} . I O . I C = \frac{1}{6} . a . \frac{a}{2} . \frac{a}{2} = \frac{a^{3}}{24} .

Khi đó:

\frac{V_{S O G C}}{V_{S O I C}} = \frac{S G}{S I} = \frac{2}{3}

\Rightarrow V_{S O G C} = \frac{2}{3} V_{S O I C} = \frac{2}{3} \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{36} .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học