Cho lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $B$ , $A B = B C = 2$ , $A^{'} A = A' B = A' C = 3$ . Gọi $M, N$ là trung điểm của $A C$ và $B C$ . Trên hai cạnh $A^{'} A, A' B$ lấy các điểm $P, Q$ tương ứng sao cho $A^{'} P = 1, A^{'} Q = 2$ . Tỉ số $\frac{V_{P Q M N}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}$ bằng

\frac{1}{36}

\frac{1}{12}

\frac{1}{24}

\frac{1}{48}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1:

Gọi

E = P Q \cap A B

F

là trung điểm

A^{'} Q

\Rightarrow P F // A B, P F = \frac{1}{3} A B

Ta có:

Δ B Q E = Δ F Q P \Rightarrow \{\begin{cases} P F = B E = \frac{A B}{3} \Rightarrow \frac{E B}{E A} = \frac{1}{4} \\ E Q = P Q \end{cases}

\frac{V_{P Q M N}}{V_{E Q M N}} = \frac{\frac{1}{3} d [P, (Q M N)] . S_{Q M N}}{\frac{1}{3} d [E, (Q M N)] . S_{Q M N}} = \frac{P Q}{E Q} = 1 \Rightarrow V_{P Q M N} = V_{E Q M N}

Mà

\frac{d [Q, (A B C)]}{d [A^{'}, (A B C)]} = \frac{Q B}{A^{'} B} = \frac{1}{3}

S_{E M N} = \frac{1}{2} d (E, M N) . M N = \frac{1}{2} B N . M N = \frac{1}{4} S_{A B C}

V_{E Q M N} = \frac{1}{3} d [Q, (E M N)] . S_{E M N} = \frac{1}{3} \frac{1}{3} d [A^{'}, (A B C)] . \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{1}{36} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}

Vậy

\frac{V_{P Q M N}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{36}

.
Cách 2:

Ta có: Gọi

D = P Q \cap A B .

V_{P Q M N} = V_{P D M N} - V_{Q D M N} .

S_{D M N} = \frac{1}{4} S_{A B C}, d (P, (D M N)) = \frac{2}{3} d (A', (A B C)) \Rightarrow \frac{V_{P D M N}}{V_{A' . A B C}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{V_{P D M N}}{V_{A B C . A' B' C'}} = \frac{1}{18} .

d (Q, (D M N)) = \frac{1}{3} d (A', (A B C)) \Rightarrow \frac{V_{Q D M N}}{V_{A' . A B C}} = 12 \Rightarrow \frac{V_{P D M N}}{V_{A B C . A' B' C'}} = \frac{1}{36} .

\Rightarrow \frac{V_{P Q M N}}{V_{A B C . A' B' C'}} = \frac{V_{P D M N} - V_{Q D M N}}{V_{A B C . A' B' C'}} = \frac{1}{18} - \frac{1}{36} = \frac{1}{36} .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học