Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B B^{'}$ . Mặt phẳng $(M A^{'} D)$ cắt cạnh $B C$ tại $K$ . Thể tích của khối đa điện $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M K C D$ bằng:

\frac{7}{24}

\frac{7}{17}

\frac{1}{24}

\frac{17}{24}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Ta có

V_{A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 1. 1. 1 = 1

.
Gọi

d

là đường trung bình đi qua

M

của

Δ B C B^{'}

. Suy ra

d // B^{'} C

. Suy ra

d // A^{'} D

do cùng song song với

B^{'} C

. Suy ra

d \subset (M A^{'} D)

. Do đó

K = d \cap B C

hay

K

là trung điểm

B C

.
Suy ra

V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M K C D} > V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} D C} = \frac{1}{2} V_{A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = \frac{1}{2}

. Do vậy chọn đáp án D

\frac{17}{24}

.
Trong trường hợp có nhiều hơn 1 đáp án lớn hơn

\frac{1}{2}

. Ta tiến hành tính thể tích khối

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M K C D

như sau:
Cách 1:

V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M K C D} = V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} D C} + V_{D . A^{'} B^{'} M} + V_{D . B^{'} M K C}

V_{D . A^{'} B^{'} M} = \frac{1}{3} . D A . S_{A^{'} B^{'} M} = \frac{1}{3} . 1 . \frac{1}{2} . 1 . \frac{1}{2} = \frac{1}{12}

V_{D . B^{'} M K C} = \frac{1}{3} . D C . S_{B^{'} M K C} = \frac{1}{3} . D C . \frac{3}{4} . S_{B B^{'} C} = \frac{1}{3} . 1 . \frac{3}{4} . \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Vậy .
Cách 2:

V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M K C D} = V_{A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - V_{M B K . A^{'} A D}

V_{M B K . A' A D} = \frac{1}{3} . A B . (S_{A^{'} A D} + S_{M B K} + \sqrt{S_{A^{'} A D} . S_{M B K}}) = \frac{1}{3} . 1 . (\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \sqrt{\frac{1}{2} . \frac{1}{8}}) = \frac{7}{24}

Vậy

V_{A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} M K C D} = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học