[ Mức 4] Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 2. Hai điểm $M$ , $N$ lần lượt thuộc cạnh $S B$ , $S D$ sao cho $\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = k (0 < k < 1)$ . Mặt phẳng $(A M N)$ cắt cạnh $S C$ tại $K$ . Tìm $k$ để khối đa diện lồi $A M K N D C$ có thể tích bằng $1$ ?

k = \frac{1}{3}

k = \frac{1}{2}

k = \frac{1}{4}

k = \frac{2}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải

A B C D

là hình bình hành và

\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = k

nên

M N // B D

.
Gọi

O = A C \cap B D

I = S O \cap M N

\Rightarrow S C \cap (A M N) = S C \cap A I = K

M N // B D

\Rightarrow \frac{S I}{S O} = \frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S D} = k

\Rightarrow \frac{I O}{I S} = \frac{1 - k}{k}

.
Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt cho

Δ S O C

ta có

\frac{K S}{K C} . \frac{A C}{A O} . \frac{I O}{I S} = 1

\Rightarrow \frac{K S}{K C} . 2. \frac{1 - k}{k} = 1

\Rightarrow \frac{K S}{K C} = \frac{k}{2 - 2 k}

\Rightarrow \frac{S K}{S C} = \frac{k}{2 - k}

.
Ta có:

\frac{V_{B A M C}}{V_{B A S C}} = \frac{B M}{B S} = 1 - k

\Rightarrow V_{B A M C} = \frac{1 - k}{2} V_{S . A B C D} = 1 - k

\frac{V_{S . A M K N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A M K}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S K}{S C} = \frac{k^{2}}{2 - k}

\Rightarrow V_{S . A M K N} = \frac{2 k^{2}}{2 - k}

Mặt khác ta có

V_{B A M C} + V_{S . A M K N} = V_{S . A B C D} - V_{A M K N D C} = 1

\Leftrightarrow (1 - k) + \frac{2 k^{2}}{2 - k} = 1

\Leftrightarrow 3 k^{2} - 2 k = 0

\Leftrightarrow k = \frac{2}{3}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học