Cho một hình cầu nội tiếp hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là $2 α$ , bán kính đấy là $R$ và chiều cao là $h$ . Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dưới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích của hình nón và hình trụ, biết rằng $V_{1} \neq V_{2}$ . Gọi $M$ là giá trị lớn nhất của tỉ số $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ . Giá trị của biểu thức $P = 48 M + 25$ thuộc khoảng nào dưới đây?

(40; 60)

(60; 80)

(20; 40)

(0; 20)

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Gọi

r

bán kính kính hình cầu nội tiếp hình nón.
Ta có

R h = r (l + R) \Rightarrow r = \frac{R h}{R + \sqrt{R^{2} + h^{2}}}

.
Hình trụ ngoại tiếp hình cầu nên có đường kính đáy và chiều cao bằng đường kính hình cầu. Do đó nó có thể tích là

V_{2} = π r^{2} . 2 r = 2 π {(\frac{R h}{R + \sqrt{R^{2} + h^{2}}})}^{3}

.
Khi đó

\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{2 π {(\frac{R h}{R + \sqrt{R^{2} + h^{2}}})}^{3}}{\frac{1}{3} π R^{2} h} = 6 \frac{R h^{2}}{{(R + \sqrt{R^{2} + h^{2}})}^{3}} = \frac{6 (\frac{R}{h})}{{(\frac{R}{h} + \sqrt{{(\frac{R}{h})}^{2} + 1})}^{3}}

= \frac{6 t}{{(t + \sqrt{t^{2} + 1})}^{3}}

Với

t = \frac{R}{h} > 0

, xét hàm số

y = \frac{t}{{(t + \sqrt{t^{2} + 1})}^{3}}

với

t > 0

, ta có

y^{'} = \frac{\sqrt{t^{2} + 1} - 3 t}{{(t + \sqrt{t^{2} + 1})}^{3} \sqrt{t^{2} + 1}}

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2 \sqrt{2}}

.
Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

M = \max \{\frac{V_{2}}{V_{1}}\} = 6 \frac{1}{8} = \frac{3}{4}

.
Do đó

P = 48 M + 25 = 61

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học