Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a.
A.A:
B.B:
C.C:
D.D:
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Đáp án A
- Phương pháp:
+ Góc giữa mặt bên (P) và mặt đáy (Q) của hình chóp :
=> Góc giữa mặt bên (P) và mặt đáy (Q) của hình chóp= Góc SIO.
+ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD : Giao điểm của 3 mặt phẳng vuông góc với 3 mặt phẳng đáy ( biết rằng 3 mặt phảng đó tương ứng đi qua 3 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác của 3 mặt phẳng đáy).
+ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết bán kính R:
- Cách giải:
Gọi M là Trung điểm của AB
Vì Tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều
Do có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau => Góc
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC
G là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD
=> H,G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và ABD
Kẻ Đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và Đường vuông góc với (ABD) từ G.
Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên chúng cắt nhau tại O.
=> O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG và R = OC.
Tam giác ABC đều
CMTT ta có
Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông
Tam giác OHC vuông tại H → Áp dụng định lý Pitago ta có: