Câu hỏi Toán học

[DS12. C1. 2. D07. d] Cho hàm số fx có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn fx+h−fx−h≤h2,∀x∈ℝ, ∀h>0 . Đặt gx=x+f′x2019+x+f′x29−m−m4−29m2+100sin2x−1 , m là tham số nguyên và m<27 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số gx đạt cực tiểu tại x=0 . Tính tổng bình phương các phần tử của S.

A. 108.
B. 58.
C. 100.
D. 50.
Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:Lời giải
Ta có ∀h>0 thì fx+h−fx−h≤h2⇔−h≤fx+h−fx+fx−fx−hh≤h
⇔−h≤fx+h−fxh+fx−h−fx−h≤h .
Suy ra limh→0+−h≤limh→0+fx+h−fxh+fx−h−fx−h≤limh→0+h
⇒0≤f′x+f′x≤0⇒f′x=0 với mọi x∈ℝ .
Suy ra gx=x2019+x29−m−m4−29m2+100sin2x−1
⇒g′x=2019x2018+29−mx28−m−m4−29m2+100sin2x
⇒g″x=2019. 2018. x2017+29−m28−mx27−m−2m4−29m2+100cos2x
Dễ thấy g′0=0,∀m<27 .
Xét g″0=−2m4−29m2+100=0⇔m2=4m2=25 .
* Khi m2=4⇔m=±2 :
+ m=2 ta có gx=x2019+x27−1 có g′x=x262019x1992+27 không đổi dấu khi qua x=0 .
+ m=−2 ta có gx=x2019+x31−1 có g′x=x302019x1988+31 không đổi dấu khi qua x=0 .
* Khi m2=25⇔m=±5 :
+ m=5 ta có gx=x2019+x24−1 có g′x=x232019x1995+24 đổi dấu khi qua x=0 và x=−2420191995 . Trường hợp này hàm đạt cực tiểu tại x=0 .
+ m=−5 ta có gx=x2019+x34−1 có g′x=x332019x1985+34 đổi dấu khi qua x=0 và x=−3420191985 . Trường hợp này hàm đạt cực tiểu tại x=0 .
*Nếu 4<m2<25⇔2<m<5−5<m<−2 thì g″0>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 .
*Nếu m2<4 hoặc m2>25 thì g″0<0 nên hàm số gx đạt cực đại tại x=0 .
Vậy các giá trị nguyên của m<27 để hàm số đạt cực tiểu tại x=0 là S=−5;−4;−3;3;4;5 .
Tổng bình phương các phần tử của S là 100 .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Cực trị hàm có dấu giá trị tuyệt đối có tham số m. - Toán Học 12 - Đề số 1

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.