Đường thẳng $d : y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $O A^{2} + O B^{2} = 2, O$ là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

(- \infty; 2 - 2 \sqrt{2})

(0; 2 + 2 \sqrt{2})

(2 - \sqrt{2}; 2 + 2 \sqrt{2})

(2 + 2 \sqrt{2}; + \infty)

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời Giải:
Đáp án A
Để

d : y = x + m

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1}

tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình

x + m = \frac{x - 1}{x + 1}

phải có 2 nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow x^{2} + m x + m + 1 = 0

có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2} \neq - 1

\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = m^{2} - 4 m - 4 > 0 \\ {(- 1)}^{2} + m (- 1) + m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 - 2 \sqrt{2}, m > 2 + 2 \sqrt{2} \\ 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 + 2 \sqrt{2} \\ m < 2 - 2 \sqrt{2} \end{array} (*)

Gọi

A (x_{1}; x_{1} + m), B (x_{2}; x_{2} + m),

ta có

O A^{2} + O B^{2} = 2

\Leftrightarrow {(x_{1})}^{2} + {(x_{1} + m)}^{2} + x_{2}^{2} + {(x_{2} + m)}^{2} = 2

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow {(- m)}^{2} - 2 (m + 1) + m (- m) + m^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 3 \end{array} \end{array}

Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn

m = - 1.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học