Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2 m + m^{4}$ có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1$ . Tính tổng các phần tử của $S$ .

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\frac{2 + \sqrt{5}}{2}

0

\frac{3 + \sqrt{5}}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

y^{'} = 4 x^{3} - 4 m x

y^{'} = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m \end{array}

Để hàm số có ba điểm cực trị

\Leftrightarrow y^{'} = 0

có ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow m > 0

.
Với

m > 0

ta có ba điểm cực trị lần lượt là:

A (0; m^{4} + 2 m) \in O y

B (- \sqrt{m}; m^{4} - m^{2} + 2 m)

C (\sqrt{m}; m^{4} - m^{2} + 2 m)

Xét tam giác

Δ A B C

cân tại

A

có chiều cao bằng

A H = |y_{A} - y_{B}| = m^{2}

.
Gọi

I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Δ A B C

, dễ thấy

I

nằm trên

A H

với

A H

là đường cao hạ từ

A

H \in B C

* Trường hợp 1:

I

nằm trong tam giác

Δ A B C

thì

m \geq 1

Xét tam giác

Δ B H I

vuông tại

H

có:

B H^{2} = B I^{2} - H I^{2}

= B I^{2} - {(A H - A I)}^{2}

= {(\frac{1}{2} B C)}^{2}

\Leftrightarrow 1 - {(m^{2} - 1)}^{2} = \frac{4 m}{4}

\Leftrightarrow - m^{4} + 2 m^{2} - m = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (L) \\ m = 1 (T M) \\ m = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} (L) \\ m = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} (L) \end{array}

Nên

m = 1

thỏa mãn.
* Trường hợp 2:

I

nằm ngoài tam giác

Δ A B C

thì

0 < m < 1

B H^{2} = B I^{2} - H I^{2}

= B I^{2} - {(A I - A H)}^{2}

= {(\frac{1}{2} B C)}^{2}

\Leftrightarrow 1 - {(m^{2} - 1)}^{2} = \frac{4 m}{4}

\Leftrightarrow - m^{4} + 2 m^{2} - m = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (L) \\ m = 1 (L) \\ m = \frac{- 1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} (L) \\ m = \frac{- 1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} (T M) \end{array}

Suy ra loại nghiệm

m = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}

thỏa mãn.
Như vậy tổng các giá trị của

m

là:

S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học