Trong không gian $O x y z$ , cho các điểm $A (5; 3; 1)$ , $B (4; - 1; 3)$ , $C (- 6; 2; 4)$ và $D (2; 1; 7)$ . Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa $|3 \vec{M A} - 2 \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|$ là một mặt cầu $(S)$ . Xác định tọa độ tâm $I$ và tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ .

I (\frac{4}{3}; 1; \frac{2}{3})

R = \frac{\sqrt{3}}{3}

I (\frac{1}{3}; \frac{14}{3}; \frac{2}{3})

R = \frac{\sqrt{21}}{3}

I (1; \frac{14}{3}; \frac{8}{3})

R = \frac{\sqrt{21}}{3}

I (\frac{8}{3}; \frac{10}{3}; \frac{1}{3})

R = \frac{\sqrt{3}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

A B = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}}

= \sqrt{21}

.
Gọi

K (x; y; z)

là điểm thỏa mãn điều kiện

3 \vec{K A} - 2 \vec{K B} + \vec{K C} + \vec{K D} = \vec{0}

.
Suy ra:

\{\begin{cases} 3 (5 - x) - 2 (4 - x) + (- 6 - x) + (2 - x) = 0 \\ 3 (3 - y) - 2 (- 1 - y) + (2 - y) + (1 - y) = 0 \\ 3 (1 - z) - 2 (3 - z) + (4 - z) + (7 - z) = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = \frac{14}{3} \\ z = \frac{8}{3} \end{cases}

\Rightarrow K (1; \frac{14}{3}; \frac{8}{3})

.
Ta lại có:

|3 \vec{M A} - 2 \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}| = |\vec{M A} - \vec{M B}|

\Leftrightarrow |3 (\vec{M K} + \vec{K A}) - 2 (\vec{M K} + \vec{K B}) + (\vec{M K} + \vec{K C}) + (\vec{M K} + \vec{K D})| = |\vec{B A}|

\Leftrightarrow |3 \vec{M K} + (3 \vec{K A} - 2 \vec{K B} + \vec{K C} + \vec{K D})| = B A

\Leftrightarrow |3 \vec{M K} + \vec{0}| = B A

\Leftrightarrow |3 \vec{M K}| = B A

\Leftrightarrow 3 M K = B A

\Leftrightarrow M K = \frac{B A}{3}

\Leftrightarrow M K = \frac{\sqrt{21}}{3}

.
Từ đó tập hợp điểm

M

là mặt cầu

(S)

tâm

I \equiv K (1; \frac{14}{3}; \frac{8}{3})

, bán kính

R = \frac{\sqrt{21}}{3}

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học