Áp dụng bất đẳng thức tích phân giải các bài toán tích phân nâng cao – Phạm Minh Tuấn là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Bài 1 [ĐỀ MH 2018]. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
1 0f ,
1
2
0
' 7f x dx và
1
2
0
1
3
x f x dx . Tính
1
0
f x dx
A.
7
5
B. 1 C.
7
4
D. 7
Hướng dẫn giải:
Xét
1
2
0
1
3
I x f x dx .
Đặt
1 1 13
3 3
3
2
0 00
'
1 1
. ' ' 1
3 3 3
3
du f x
u f x x
I f x x f x dx x f x dxx
dv x dx v
Chứng minh BĐT tích phân sau:
2
2 2. *
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Với mọi t ta có:
2
2 2 20 2tf x g x t f x tf x g x g x
Lấy tích phân 2 vế theo biến x ta được:
2 2 22 0
b b b
a a a
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
h t là tam thức bậc 2 luôn không âm nên ta có điều kiện:
2 2
2
2 2 2 20 . 0 .
' 0
b b b b b b
a a a a a a
t
f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx
Dấu ‚=‛ xảy ra khi tf x g x
Áp dụng:
2
1 1 1
2
3 6
0 0 0
1
1 ' . ' .7 1
7
x f x dx x dx f x dx
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi 3'f x kx .
Mặc khác:
1
3 3 3 4
0
7
' 1 7 ' 7 7
4
x f x dx k f x x f x x dx x C
Mà 1 0f nên
1 1
4
0 0
7 7 7 7
4 4 4 5
C f x dx x dx
NHẬN XÉT: Thật ra BĐT (*) chính là hệ quả BĐT Holder về tích phân
BĐT Holder về tích phân phát biểu như sau:
1 1
.
b b bp qp q
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
với , 1p q thỏa
1 1
1
p q
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực ,m n không đồng thời bằng 0 sao cho
p q
m f x n g x
Hệ quả: Với 2p q thì BĐT trở thành
2
2 2.f x g x dx f x dx g x dx
BTAD: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
1
2
0
1
1 '
3
x f x dx .
Giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
2
0
f x dx là:
A.
0 2
3
f
B.
3 0 2
3
f
C.
3 0 2
3
f
D.
0 2
3
f
Bài 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 0 0f ,
0;1
max ' 6f x
và
1
0
1
3
f x dx . Gọi M là giá trị lớn nhất của tích phân
1
3
0
f x dx .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
1;
2
M
B.
1
0;
2
M
C.
1
;1
2
M
D.
3
; 2
2
M
Hướng dẫn giải:
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Ta có: ' 6, 0;1 ' 6 , 0;1f x x f x f x f x x (1)
Lấy tích phân hai vế BĐT (1) ta được:
0 0
' 6 , 0;1
x x
f t f t dt f t dt x
2 2 2
2 3
0 0 00
0
6 12 12
2 2 2
x
x x xf t f x f
f t dt f x f t dt f x f x f t dt (2)
Lấy tích phân hai vế BĐT (2) ta được:
1 1
3
0 0 0
12
x
I
f x dx f x f t dt dx
Đặt
0
. '
x
u f t dt du f x x dx f x dx
Suy ra
1
0
2 2
1 1
0 0 0
1 1 1 1 1
.
2 2 2 9 18
f t dt
I udu f t dt f x dx
Vậy
1
3
0
1 2
12.
18 3
f x dx
Nhận xét: Ta có thể chỉ ra 1 hàm số f x thỏa mãn dữ kiện đề cho và xảy ra dấu ‘’=‛,
hàm đó là: 3 228,815042623089894049 35,5890622041211331 8,6518534912024751f x x x x
- Chú ý:
' . ' . '
g x
h x
f t dt f g x g x f h x h x
Bài 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
6 4 2
0
3
f
,
1 2f và ' 0, 0;1f x x . Biết tích phân
1
2
2
0
2 2 2 'x x f x dx đạt giá
trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính 2f ?
A.
6 4 2
2
3
f
B.
6 2 2
2
3
f
C.
3 2 2
2
2
f
D.
Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
3 2
2
2
f
Hướng dẫn giải:
Ta có:
1 1 22 2
2
0 0
2 2 2 ' 2 'I x x f x dx x x f x dx
Ta có :
2 2 2
2 ' 2 '
2
x x f x x x f x
1 12 2
0 0
2
2 ' 2 '
2
x x f x dx x x f x dx
Mà:
1 1 1
0 0 0
4 2 8 2
2 ' 2 ' 1 0
3 3
x x f x dx x x dx f x dx f f
Do đó
8
3
I
Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi :
332' 2 2
3
f x x x f x x x C
Ta có:
332 6 4 21 2 2 2 2 2
3 3
f C f x x x f
Bài 4. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
1 21
, 0;1
2
x
x
f t dt x
. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân
1
2
0
f x dx . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
3
1;
2
m
B.
1
0;
2
m
C.
1
;1
2
m
D.
3
; 2
2
m
Hướng dẫn giải:
Theo hệ quả BĐT Holder:
2 2
1 1 1 1 1
2 2 2
0 0 0 0 0
. 3xf x dx x dx f x dx f x dx xf x dx
