Bài toán min – max số phức có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
1
BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.
NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018.
Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận
Dụng Cao.
Kỹ năng:
Phương pháp đại số.
Phương pháp hình học.
Phương pháp bđt modun.
Phương pháp casio.
Một số tính chất cần nhớ.
1. Môđun của số phức:
Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ
OM
được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2z = a + bi = a + b
Tính chất
2 2
z a b zz OM 0, , 0 0 z z z z
. ' . 'z z z z , ' 0
' '
z z z
z z
' ' ' z z z z z z
. , kz k z k
Chú ý:
222 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 4 . z a b abi a b a b a b z z z z .
Lưu ý:
1 2 1 2 z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0 z kz k
1 2 1 2 z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0 z kz k .
1 2 1 2 z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0 z kz k
1 2 1 2 z z z z dấu bằng xảy ra 1 2 0 z kz k
2 2 2 21 2 1 2 1 22 z z z z z z
22
z z z z z
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ ,x y Quỹ tích điểm M
ax 0 by c (1)
z a bi z c di (2)
(1)Đường thẳng :ax 0 by c
(2) Đường trung trực đoạn AB
với , , ,A a b B c d
2 2 2 x a y b R hoặc
z a bi R
Đường tròn tâm ;I a b , bán kính R
2 2 2 x a y b R hoặc Hình tròn tâm ;I a b , bán kính R
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
2
z a bi R
2 22 2 r x a y b R hoặc
r z a bi R
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường
tròn đồn tâm ;I a b , bán kính lần lượt là
,r R
2
2
0
y ax bx c
c
x ay by c
Parabol
2 2
2 2 1 1
x a y c
b d
hoặc
1 1 2 2 2 z a b i z a b i a
1 Elip
2 Elip nếu 1 1 2 22 , , , ,a AB A a b B a b
Đoạn AB nếu 2 a AB
2 2
2 2 1
x a y c
b d
Hypebol
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm
Min
z . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a; b
2 2
0
1 1
2 2
2 2
Min
z z a b
a bz i
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di Tìm
min
z . Ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với
A a; b ,B c;d
2 2 2 2
2 2
,
2
Min
a b c d
z d O AB
a c b d
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về
dạng cơ bản.
Ví dụ 1:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . z a bi z c di Khi đó ta biến đổi
. z a bi z c di z a bi z c di
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . iz a bi z c di Khi đó ta biến đổi
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
3
. a bi c diiz a bi iz c di z z z b ai z d ci
i i
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 0z a bi R 0 z z R . Tìm Max Minz , z . Ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b bán kính R
2 2
0
2 2
0
Max
Min
z OI R a b R z R
z OI R a b R z R
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi Riz a bi R z
i i
(Chia hai vế cho i )
z b ai R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
2 2
a bi R Rc di z a bi R z
c di c di c d
Hay viết gọn 10 1
0 0
z Rz z z R z
z z
(Chia cả hai vế cho 0z )
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z là Elip:
22
2 2 2
yx 1
a a c
2 2
Max
Min
z a
z a c
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2z z z z 2a
Thỏa mãn 1 22a z z .
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).
Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc 1 2 1 2z z z z 2a , z z 2a và 1 2z ,z c, ci ). Tìm
Max, Min của 0P z z .
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404
4
Đặt 1 2
2 2 2
z z 2c
b a c
Nếu 1 20
z zz 0
2
Max
Min
P a
P b
(dạng chính tắc)
Nếu
1 2
0
0 1 0 2
z zz a
2
z z k z z
1 2
Max 0
1 2
Min 0
z zP z a
2
z zP z a
2
Nếu
1 2
0
0 1 0 2
z zz a
