CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHỦ ĐỀ 8: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
Cho các véc tơ tùy ý và .
1. Cộng véc tơ:
Lấy điểm tùy ý trong không gian, vẽ thì
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm bất kỳ thì
2. Trừ véc tơ:
Quy tắc ba điểm: .
Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ta có: .
Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ta có .
3. Tích véc tơ:
Tích của véc tơ với một số thực là một véc tơ. Kí hiệu là
+) Cùng hướng với nếu .
+) Ngược hướng với nếu .
+) .
Hệ quả: Nếu là trung điểm của tùy ý thì .
4. Tích vô hướng của hai véc tơ.
+) Định nghĩa: .
+) Hệ quả: .
+) .
+) Với ba điểm ta có .
+) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng chứa thì: .
5. Định nghĩa: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng.
6. Các định lý:
a) Cho không cùng phương: đồng phẳng ( với xác định duy nhất).
b) Nếu ba véc tơ không đồng phẳng thì mọi véc tơ đều được biểu diễn dưới dạng: với xác định duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Cho tứ diện đều , là trung điểm của cạnh và là trộng tâm cảu tam giác . Đặt . Phân tích véc tơ theo .
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Đáp án A
Cho tứ diện đều , và theo thứ tự là trung điểm của cạnh và . Mệnh đề nào sau đây sai?.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải:
Đáp án D
A.Đúng vì: .
B. Đúng vì:
C.Đúng vì: .
Vậy D sai
Cho tứ diện đều có tam giác đều,. Giá tri của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Đáp án B
Gọi là trung điểm của . Tam giác đều nên . Tam giác cân tại nên ta có:
.
Cho tứ diện đều có . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Vậy
Trong mặt phẳng cho tứ giác và một điểm tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .
B. (Với là điểm tùy ý).
C. Nếu tồn tại điểm mà thì là hình bình hành.
D. khi và chỉ khi là giao điểm của và .
Lời giải
Đáp án C
A. Sai vì (Vô lí)
B. Sai vì: Gọi và theo thứ tự là trung điểm của và . Ta có
và điều này không đúng nếu không phải là hình bình hành.
C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.
Cho hình hộp . Gọi là trung điểm của , là tâm của hình bình hành . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Đáp án A
Cách 1: Ta có nằm trong mặt phẳng nên các vecto dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng .
Cách 2: Ta có .
Vậy các vecto đồng phẳng.
Cho tứ diện và theo thứ tự là trung điểm của và . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Đáp án C
Vậy ba vecto đồng phẳng.
Cho tứ diện là điểm trên đoạn và . là điểm trên đường thẳng mà . Nếu đồng phẳng thì giá trị của là:
A. . B.. C.. D..
Lời giải
Đáp án A
Qua vẽ mặt phẳng song song với và .
cắt tại , tại và tại . Ta có .
Các vecto có giá song song hay nằm trong mặt phẳng nên đồng phẳng.
Ta có . Vậy .
Cho hình hộp . là điểm trên cạnh sao cho là điểm trên đường thẳng . là điểm trên đường thẳng sao cho thẳng hàng.
Tính .
A. . B.. C. . D. .
Lời giải
Đáp án B
Đặt và .
Ba điểm thẳng hàng nên .
Ta có:
Ta lại có:
Thay (2), (3) vào (1) ta được:
. Giải hệ ta được .
Vậy .
Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là trọng tâm tam giác BCD, là góc giữa 2 vectơ và . Khi đó có giá trị là:
A. B. C. D.
Đáp án: C
Lời giải:
Đặt
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1
và
Ta có:
Thay vào (*) ta được
C.Bài tập rèn luyện kỹ năng
Câu 1: Cho là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Có
Chọn A
Câu 2: Cho hình hộp với . Khi đó:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
( hính vẽ câu 1)
Ta có:
Chọn B
Câu 3: Cho hình hộp . Khi đó: tổng 3 góc là:
A. 1800 B. 2900 C.3600 D. 3150
Hướng dẫn giải
Ta có:
Chọn D
Câu 4: Cho hình lập phương , đặt Khi đó: là:
A. 3600 B. 3750 C. 3150 D. 2750
Hướng dẫn giải
( hình câu 3)
Chọn B
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=6; AD=4; . Tính
A. 76 B. 28 C. 52 D. 40
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 6: Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba vectơ đồng phẳng là 3 vec tơ cùng nằm trong một mặt phẳng
B. Ba vectơ đồng phẳng thì có với m, n là các số duy nhất
C. Ba vectơ đồng phẳng khi có với là vec tơ bất kỳ
D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai
Hướng dẫn giải
-Phương án A: sai vi chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
Phương án B: Sai phải không cùng phương.
Phương án C sai
Vậy chọn D
Chọn D
Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
G là trung điểm của MN
B đúng
Ta có:
A đúng
Khi O trùng A thì D đúng vậy đáp án là C.
Chọn C
Câu 8: Cho ba vectơ không đồng phẳng xét cá
