Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio – Hoàng Văn Bình là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Hoàng Văn Bình
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài 1. NGUYÊN HÀM
I. Lý thuyết
1. Nguyên hàm f x dx F x C
2. Tính chất
- 'f x dx f x và f x dx f x C
- .k f x dx k f x dx 0k
- f x g x dx f x dx g x dx
3. Bảng nguyên hàm
kdx kx C k const
1
1
1
x
x dx C
1
1
u
u dx C
1
lndx x C
x
1
lndx u C
u
x xe dx e C
u ue dx e C
ln
x
x aa dx C
a
ln
u
u aa dx C
a
cos sinxdx x C cos sinudx u C
sin cosxdx x C sin cosudx u C
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1
tan
cos
dx u C
u
2
1
cot
sin
dx x C
x
2
1
cot
sin
dx u C
u
2 2 2
2 2 arcsin
2 2
a x x a x
a x dx C
a
2 2
1
arcsin
x
C
aa x
2 2
1
ln
2
dx a x
C
a x a a x
2 2
1
arctan
dx x
C
a x a a
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C
2
2
ln
dx
x x k C
x k
Hoàng Văn Bình
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Nếu f x dx F x C thì . 'f u x u x dx F u x C
Đặt 't u x dt u x dx . Khi đó f t dt F t C F u x C
Cách đặt biến:
Dạng 1: Đặt biến thường
f ax b dx đặt t ax b
f x
dx
x
đặt t x
1 .nf x xdx đặt
1nt x
sin cosf x xdx đặt sint x
cos sinf x xdx đặt cost x
tanf x dx đặt tant x
cotf x dx đặt cott x
lnf x
dx
x
đặt lnt x
x xf e e dx đặt
xt e
Dạng 2: Đặt lượng giác:
2 2
2 2
2 2
tant1
cot
1
a x
x a
x a ta x
a x
2 2
2 2
sin
1
cos
a x
x a t
x a t
a x
2 2
2 2
sin
1
cos
a
x a x
t
a
xx a t
Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào f x .
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Hoàng Văn Bình
Cho hai hàm số u u x và v v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn ;a b thì khi đó ta có
udv uv vdu
Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”
c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ
- Nguyên hàm dạng:
d 1
ln
x
ax b C
ax b a
- Nguyên hàm dạng:
1
2
1 2 2
d 1
ln
x xx
C
ax bx c a x x x x
với 0
- Nguyên hàm dạng:
d
P x
x
G x
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn 1 2 ... nQ x x x x x x x thì ta tách
1 2
1 2
d ... n
n
P x AA A
x
G x x x x x x x
dx
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như 1 2 3
n
Q x x x x x x x thì ta
tách
11 2 1 2
2 1
1 2 3 3 3 3
d ... dn n
n n
P x B BA A B B
x x
G x x x x x x x x x x x x x
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử
2 21 2 , 4 0x x x x x px q p q thì ta tách
1 2
2
1 2
d d
P x A A Bx C
x x
G x x x x x x px q
d. Dạng nguyên hàm vô tỉ
- Nguyên hàm dạng 2 2,R x a x đặt
sin
cos
x a t
x a t
- Nguyên hàm dạng 2 2,R x a x đặt tantx a
- Nguyên hàm dạng 2 2,R x x a đặt
cos
a
x
t
- Nguyên hàm dạng ,
a x
R x
a x
đặt cos2x a t
- Nguyên hàm dạng , n
ax b
R x
cx d
đặt n
ax b
t
cx d
Hoàng Văn Bình
- Nguyên hàm dạng
2
1
n
R
ax b x x
đặt
1
t
ax b
e. Dạng nguyên hàm lượng giác
- Nguyên hàm dạng sin .cos d ,n mx x x m n
,m n chẵn thì dùng công thức hạ bậc
m lẻ thì đặt sinu x , n lẻ thì đặt cosu x
f. Một số dạng tích phân đặc biệt
- Cho hàm số f x liên tục là hàm chẵn trên ;a a thì ta có
0
2
a a
a
f x dx f x dx
.
- Cho hàm số f x liên tục là hàm lẻ trên ;a a thì ta có 0
a
a
f x dx
.
- Cho hàm số f x liên tục là hàm chẵn trên ; thì ta có
0
1
a
x
f x
dx f x dx
a
.
- Cho hàm số f x liên tục trên 0;
2
thì ta có
2 2
0 0
sin cosf x dx f x dx
.
II. Sử dụng máy tính cầm tay
Bấm máy tính như sau: x X
d
DA DB
dx
1. Tích phân hữu tỉ
Dạng
P x
Q x
trong đó bậc của P x Q x . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương
pháp r100
Ta giả sử 1 2 3Q x x x x x x x (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự):
1 2 3
P x A B C
R x
Q x x x x x x x
trong đó R x là biểu thức dư của phép chia.
Tìm
12 3
21 3
31 2
P xd
A
x xdx x x x x
P xd
B
x xdx x x x x
P xd
C
x xdx x x x x
.
Hoàng Văn Bình
Tìm
1 2 3 1 2 3 100
P xd A B C
R x
xdx x x x x x x x x x x x x
sử dụng cách tách 100
Dạng
1 2
ax b
f x
x x x x
cần tách đưa về dạng
1 2
A B
x x x x
Cách 1. Bấm:
1 2 x X
aX b
d
X x X x
dx
r 1X x A
r 2X x B
Cách 2. Bấm:
