Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử – Lê Hồng Quốc là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 1
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Câu 1. (Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa 13z i . Tìm giá trị nhỏ nhất
T của 9 5z i .
A. 2 13T . B. 3 13T . C. 13T . D. 4 13T .
Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Đặt z x yi (với ,x y ). Khi đó 13z i
22 1 13x y .
Cách 1. Đại số.
Chọn
13 sin
13 cos 1
x t
y t
.
Ta có
2 22 2 2
9 5 9 5 13 sin 9 13 cos 6P z i x y t t
2 213 sin cos 18 13 sin 12 13 cos 117 130 6 13 3sin 2cost t t t t t
130 78sin 52 208t P , với
3
sin
13
2
cos
13
.
Vậy 2 13T .
Cách 2. Hình học.
Đặt 9 5 9 5w z i w z i
2 2 2
9 5w x y suy ra tập hợp các số phức w nằm trên
đường tròn 1C có tâm là 9;5A , bán kính 1R .
Mà 13z i
22 1 13x y suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn 2C có tâm
là 0; 1B , bán kính 2 13R .
Gọi C là điểm thuộc đường tròn 1C , suy AC w , mà C thuộc 2C , suy ra
2 2
AB R AC AB R , ta có 9; 6 117 3 13AB AB
suy ra 2 13 4 13AC . Vậy
2 13T .
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình 2 24 4 1 3 0z m z m m có hai nghiệm
phức thỏa
1 2
2z z .
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 .
Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Cách 1:
' 4 4m .
Trường hợp 1: ' 0 1m . Khi đó phương trình 2 24 4 1 3 0z m z m m có hai nghiệm là
1
z a bi ,
2
z a bi với ,a b .
Ta có 2 2
1 2
2 1z z a b 1 .
Theo định lí Vi-ét ta có
2
1 2
3
4
m m
z z
2 , từ 1 và 2 suy ra
1
4
m
m
.
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 2
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
Suy ra m 3 .
Trường hợp 2: ' 0 1m phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
1z z , suy ra
1 2
2z z .
Suy ra 1m thỏa 4 .
Trường hợp 3: ' 0 1m . Khi đó phương trình có hai nghiệm thực
1 2
,z z thảo hệ thức Vi-ét
1 2
2
1 2
1
3
4
z z m
m m
z z
.
Theo đề ta có
1 2
2z z
2 2
1 2 1 2
2 4z z z z
2
1 2 1 2 1 2
2 2 4z z z z z z
2 2
2 3 3
1 4
2 2
m m m m
m
2 2
2
1 4 3 0
3
3 3 0
m khi m m
m
m khi m m
5 .
Vậy từ 3 , 4 , 5 suy ra 3m , 1m thỏa.
Cách 2:
Phương trình 2 24 4 1 3 0z m z m m luôn có hai nghiệm phức 1 2,z z , theo định lí Vi-ét ta có
1 2
2
1 2
1
3
4
z z m
m m
z z
. Theo yêu cầu bài toán ta có
1 2
2z z
2 2
1 2 1 2
2 4z z z z
2 2
1 2 1 2
1 2
2 4
2
z z z z
z z
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 8z z z z z z z z
2 2 2 21 1 3 3 8m m m m m m
2 21 1 3 8m m m m
2 2
2 2
2 2
1 1 3 8 1
1 1 3 8 1;0 3;
1 1 3 8 0 3
m m m m khi m
m m m m khi m
m m m m khi m
2
2
2 6 8 0 1
2 4 6 0 1;0 3;
2 6 0 0 3
m m khi m
m m khi m
m khi m
1 3m m .
Vậy 3m , 1m thỏa.
Câu 3. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z thỏa mãn 102 1 2i z i
z
. Biết
tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức 3 4 1 2w i z i là đường tròn tâm I , bán kính R
. Khi đó
A.
1; 2
5
I
R
. B.
1; 2
5
I
R
. C.
1;2
5
I
R
. D.
1; 2
5
I
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn
Nhận xét. Ở đây đề cho lỗi, vì chỉ có 1 số phức z thỏa 102 1 2i z i
z
, nên tập hợp điểm
biểu diễn số phức w cũng chỉ có 1 điểm chứ không phải là 1 đường tròn.
Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 3
Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454
* Lời giải sai.
Ta có 2
10 10
2 1 2 2 1 2i z i z z i z
z z
.
Lấy môđun hai vế ta được
2 2
2
10
2 2 1z z
z
(Do z z ).
2 2
2
10
2 2 1z z
z
2
2
10
5 5 1 1 2 (3 4 ) . 5z z w i i z
z
.
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn
1;2
5
I
R
.
* * Lời giải đúng.
Ta có 2
10 10
2 1 2 2 1 2i z i z z i z
z z
.
Lấy môđun hai vế ta được
2 2
2
10
2 2 1z z
z
(Do z z ).
2 2
2
10
2 2 1z z
z
2
2
10
5 5 1z z
z
. Thay 1z vào 102 1 2i z i
z
ta được
10 10 10 3 102 1 2
1 3 10 10
i i z i
z i
suy ra
10 9 10 20 13 10
10 10
w i , suy ra điểm
biểu diễn của số phức w là 1 điểm.
Câu 4. (THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – L1) Cho số phức z thỏa mãn
2 2 5 1 2 1 3z z z i z i . Tìm giá trị nhỏ nhất của w , biết rằng 2 2w z i .
A.
min
3
2
w . B.
min
2w . C.
min
1w . D.
min
1
2
w .
Hướng dẫn giải.
Chọn C.
Cách 1: Đại số.
2 2 5 1 2 1 3z z z i z i
