On thi dai hoc chuyen de dai so to hop va xac suat là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
300
Chuyeân ñeà 11:
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP VAØ XAÙC SUAÁT
Vaán ñeà 1: SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC
k k
n n nP ,A ,C
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1. HOAÙN VÒ
Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû: Pn =n!
2. CHÆNH HÔÏP:
Soá chænh hôïp: m
n
A n(n 1)(n 2)...(n m 1)
m
n
n!
A
(n m)!
Ñieàu kieän: n m vaø n, m nguyeân döông
3. TOÅ HÔÏP:
Soá toå hôïp:
m
n
n(n 1)(n 2)...(n m 1)
C
1.2.3...m
m
n
n!
C
m!(n m)!
Ñieàu kieän:
n m
n, m nguyeân döông
Ta coù coâng thöùc:
1/
m n m
n n
C C 2/
m 1 m m
n 1 n 1 n
C C C
3/ 0 1 2 n n
n n n n
C C C ..... C 2
Soá taäp hôïp con cuûa taäp hôïp n phaân töû laø 2
n
.
B.ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008
Chöùng minh raèng
k k 1 k
n 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C
(n, k laø caùc soá nguyeân döông, k n, k
n
C laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ta coù:
k k 1
n 1 n 1
n 1 1 1 n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)!
.
n 2 n 2 (n 1)!C C
1 k!(n k)!
. (n 1 k) (k 1)
n 2 n!
k
n
k!(n k)! 1
n! C
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
301
Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû cuûa
A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A.
Tìm k {1, 2…, n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát.
Giaûi
Soá taäp con k phaàn töû cuûa taäp hôïp A baèng
k
n
C .
Töø giaû thieát suy ra: 4 2
n n
C 20C 2n 5n 234 0 n 18 (vì n 4).
Do
k 1
18
k
18
C 18 k
1
k 1C
k < 9 neân 1 2 9 9 10 18
18 18 18 18 18 18
C C ... C C C ... C
Vaäy soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát khi vaø chæ khi k = 9.
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
Tính giaù trò bieåu thöùc
4 3
n 1 n
A 3A
M
(n 1)!
, bieát raèng :
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149
(n laø soá nguyeân döông,
k
n
A laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû vaø
k
n
C laø soá toå
hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ñieàu kieän: n 3.
Ta coù
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149
(n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)!
2 2 149
2!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!
n
2
+ 4n 45 = 0 n = 5 hay n = 9 (loaïi).
suy ra M =
4 3
6 5
6! 5!
3.
A 3A 32! 2!
6! 6! 4
.
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005
Tìm soá nguyeân n lôùn hôn 1 thoûa maõn ñaúng thöùc: 2 2
n n n n
2P 6A P A 12 .
(
n
P laø soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû vaø
k
n
A laø soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
Giaûi
Ta coù: 2 2
n n n n
2P 6A P A 12 (n , n 2)
n! n!
2.n! 6. n! 12
(n 2)! (n 2)!
n! n!
(6 n!) 2(6 n!) 0 (6 n!) 2 0
(n 2)! (n 2)!
6 n! 0
n! 6 n 3
n!
2 0 n(n 1) 2 0 n 2
(n 2)!
Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
302
Vaán ñeà 2: PHEÙP ÑEÁM VAØ XAÙC SUAÁT
A.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1. NGUYEÂN TAÉC ÑEÁM
2 bieán coá A vaø B
A coù m caùch xaûy ra
B coù n caùch xaûy ra
2 bieán coá A vaø B cuøng xaûy ra coù m n caùch
Bieán coá A hoaëc B xaûy ra coù m + n caùch
Chuù yù: Nguyeân taéc treân coù theå aùp duïng cho nhieàu bieán coá.
2. CHUÙ YÙ
Neáu thay ñoåi vò trí maø bieán coá thay ñoåi ta coù moät hoaùn vò hoaëc moät chænh hôïp.
Neáu thay ñoåi vò trí maø bieán coá khoâng ñoåi ta coù moät toå hôïp.
XAÙC SUAÁT
1. KHOÂNG GIAN MAÃU
Khoâng gian maãu laø taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå xaûy ra.
Bieán coá A laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu.
2. XAÙC SUAÁT
Neáu caùc phaàn töû cuûa khoâng gian maãu coù cuøng khaû naêng xaûy ra, h laø soá phaân töû
cuûa bieán coá A, n laø soá phaân töû cuûa khoâng gian maãu. Xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra:
h
p(A)
n
3. CAÙC COÂNG THÖÙC
Khoâng gian maãu E laø bieán coá chaéc chaén xaûy ra: p(E) = 1
Bieán coá laø bieán coá khoâng theå xaûy ra: p () = 0
Bieán coá keùo theo A B laø bieán coá A xaûy ra thì bieán coá B xaûy ra: A B.
P(A) p(B)
A B laø bieán coá (A xaûy ra hay B xaûy ra). p(A B) = p(A) + p(B) p(A B)
A B laø bieán coá A vaø B cuøng xaûy ra
Bieán coá A vaø B ñoái laäp neáu khoâng cuøng xaûy ra. Khi ñoù, ta coù
A B = ; p(A B) = 0; p(A B) = p(A) + p(B)
Bieán coá A laø ñoái laäp cuûa A: p( A ) = 1 p(A)
Xaùc xuaát coù ñieàu kieän:
Bieán coá A xaûy ra vôùi ñieàu kieän bieán coá B ñaõ xaûy ra:
p(A B)
p(A B)
p(B)
hay p(A B) = p(B).p(AB)
Bieán coá A vaø B ñoäc laäp neáu bieán coá B coù xaûy ra hay khoâng thì xaùc suaát cuûa A
vaãn khoâng ñoåi: p(AB)=p(A)
p(A B) = p(A)p(B)
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
303
B. ÑEÀ THI
