Phân dạng các bài toán tích phân Phạm Minh Tứ là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
TÍCH PHÂN
I. Khái niệm tích phân
1. Diện tích hình thang cong
Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong
Từ đó suy ra công thức:
2. Định nghĩa tích phân
Cho hàm f liên tục trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số: F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b, ký hiệu là:
Có nghĩa là:
Gọi là một nguyên hàm của f(x) và thì:
Trong đó:
– a: là cận trên, b là cận dưới
– f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân
– dx: gọi là vi phân của đối số
– f(x)dx: Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
II. Tính chất của tích phân
Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K, a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:
1.
2. . (Gọi là tính chất đổi cận)
3.
4. . (Tích phân của một tổng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân).
5. . (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được)
Ngoài 5 tính chất trên, người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như:
6. Nếu thì:
7. Nếu: . (Bất đẳng thức trong tích phân)
8. Nếu: và với hai số M, N ta luôn có: . Thì:
. (Tính chất giá trị trung bình của tích phân)
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
1. Trong phương pháp này, chúng ta cần:
Kỹ năng: Cần biết phân tích f(x) thành tổng, hiệu, tích, thương của nhiều hàm số khác, mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng.
Kiến thức: Như đã trình bày trong phần “Nguyên hàm”, cần phải nắm chắc các kiến thức về Vi phân, các công thức về phép toán lũy thừa, phép toán căn bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a/ b/
c/ d/
Giải
a/
b/
c/
d/
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
a/ b/
c/ d/
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
a/ b/
c/ d/
B. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này, ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc:
Bước 1: Đặt
Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
Bước 3: Phân tích
Bước 4: Tính
Bước 5: Kết luận:
2/ Nhận dạng: (Xem lại phần nguyên hàm)
* Chú ý:
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
b. Quan trọng nhất là các em phải nhận ra dạng:
- Ví dụ: Trong dạng phân thức hữu tỷ:
*
Với: .
* áp dụng để giải bài toán tổng quát: …
* . Từ đó suy ra cách đặt:
3/ Một số ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a/ b/ c/
Giải
a/ Đặt với:
Suy ra: và:
Do đó:
Vậy:
b/ Đặt: ,
Suy ra:
Do đó:
c/ Vì: . Cho nên:
Đặt:
Suy ra: và:
Do đó:
Vậy:
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau a/ b/ c/ d/
* Chú ý: Để tính tích phân dạng có chứa , ta còn sử dụng phương pháp đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính tích phân sau
Giải:
Đặt:
Khi đó:
Do vậy:
Ví dụ 2: Tính tích phân:
Giải
Đặt: , suy ra và khi ; Khi
Do đó:
Vậy:
II. Đổi biến số dạng 2
1. Quy tắc: (Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau:)
Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số và đặt nó bằng .
Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận:
Bước 3: Ta phân tích
Bước 4: Tính
Kết luận:
2. Nhận dạng:
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
A. DẠNG:
* Chú ý đến công thức: . Và nếu bậc của cao hơn hoặc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến
Ví dụ 1: Tính ticích phân:
Giải
Ta có:
Do đó:
Ví dụ 2: Tính tích phân:
Giải
Ta có: .
Do đó:
B. DẠNG:
1. Tam thức: có hai nghiệm phân biệt
Công thức cần lưu ý:
Ta có hai cách
Cách 1: (Hệ số bất định)
Cách 2: (Nhẩy tầng lầu)
Ví dụ 3: Tính tích phân: .
Giải
Cách 1: (Hệ số bất định)
Ta có:
Thay vào hai tử số: và thay vào hai tử số: suy ra
Do đó:
Vậy:
Cách 2: (Nhẩy tầng lầu)
Ta có:
Do đó:
2. Tam thức: có hai nghiệm kép
Công thức cần lưu ý:
Thông thường ta đặt .
Ví dụ 4: Tính tích phân sau:
Giải
Ta có:
Đặt: suy ra: và: khi thì ; khi thì .
Do đó:
Ví dụ 5: Tính tích phân sau:
Giải
Ta có:
Đặt: suy ra:
Do đó:
3. Tam thức: vô nghiệm:
Ta viết:
Khi đó: Đặt
Ví dụ 6: Tính tích phân:
Giải
Ta có:
Đặt: , suy ra:
Do đó:
Từ:
Vậy:
Ví dụ 7: Tính tích phân sau:
Giải
Ta có:
Do đó:
Tính tích phân
Đặt: suy ra:
Khi đó:
Thay vào (1):
C. DẠNG:
1. Đa thức: có một nghiệm bội ba
Công thức cần lưu ý:
Ví dụ 8: Tính tích phân:
Giải
Cách 1:
Đặt: , suy ra và: khi thì ; khi thì
Do đó:
Cách 2:
Ta có:
Do đó:
Ví dụ 9: Tính tích phân: .
Giải
Đặt: , suy ra: và: khi thì và khi thì .
Do đó:
2. Đa thức: có hai nghiệm:
Có hai cách giải: Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
Ví dụ 10: Tính tích phân sau:
Giải
Cách 1. (Phương pháp hệ số bất định)
Ta có:
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số: . Khi đó (1)
Do đó:
Cách 2:
Đặt: , suy ra: và khi thì ; khi thì .
Khi đó:
Hoặc:
Do đó:
Hoặc:
Do đó:
Ví dụ 11: Tính tích phân sau:
Giải
Đặt: , suy ra: , và: khi thì th
