TÀI LIỆU TOÁN 12 TRAN HOANG LONG SUU TAM VA BIEN TAP LÝ THUYẾT GT 12 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12
PHẦN I. HÀM SỐ
1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1.1. Định nghĩa
Kí hiệu là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số xác định trên ta có:
Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên nếu:
Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên nếu:
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên được gọi chung là đơn điệu trên
* Nhận xét:
Hàm số đồng biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Hàm số nghịch biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng
Nếu hàm số không đổi trên khoảng
Nếu đồng biến trên khoảng
Nếu nghịch biến trên khoảng
Nếu thay đổi khoảng bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm: Cho là hằng số .
Tổng, hiệu:
Tích:
Thương:
Đạo hàm hàm hợp: Nếu .
1.3. Bảng công thức tính đạo hàm
1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức
1.5. Đạo hàm cấp 2
1.5.1. Định nghĩa
1.5.2. Ý nghĩa cơ học
Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là:
1.5.3. Đạo hàm cấp cao
.
* Một số chú ý:
Nếu hàm số và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu .
Nếu hàm số và là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số không là các hàm số dương trên
Cho hàm số , xác định với và . Hàm số cũng xác định với .
Ta có nhận xét sau:
Giả sử hàm số đồng biến với . Khi đó, hàm số đồng biến với đồng biến với .
Giả sử hàm số nghịch biến với . Khi đó, hàm số nghịch biến với nghịch biến với .
2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
2.1. Định nghĩa
Giả sử hàm số xác định trên tập K và . Ta nói:
là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .
* Nhận xét:
Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên tập D; chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên một khoảng nào đó chứa hay nói cách khác khi điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa sao cho là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trên khoảng
Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.
2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1:
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm thì
Chú ý:
Đạo hàm có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm .
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2:
Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì .
Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số
Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số
2.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu . Nếu đổi dấu khi đi qua thì hàm số đạt cực trị tại .
Định lí 3:
Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với Khi đó:
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm
Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình
Bước 3: Tính và tính
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba
3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước
3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng
3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị
hoặc hoặc
3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là
với
3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương
3.2.1. Một số kết quả cần nhớ
Hàm số có một cực trị
Hàm số có ba cực trị
Hàm số có đú
