Nội dung bài giảng
Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5x + 6 < 0 \hfill \cr
ax + 4 < 0 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr
{x^2} - 2ax + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3
Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình: ax < -4
+ Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là \(x < - {4 \over a}\)
Vì \( - {4 \over a} < 0\) nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là \(x > - {4 \over a}\)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
- {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a < - {4 \over 3}\)
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(a < - {4 \over a}\)
b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1
Xét bất phương trình thứ hai của hệ:
Ta có: Δ’= a2 – 1
Nếu Δ’= 0 ⇔ a = ± 1
+ Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1
Do đó, hệ vô nghiệm.
+ Với a = -1, nghiệm của bất phương trình là x = -1
Nếu Δ’ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.
Do đó, hệ vô nghiệm.
Nếu Δ’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Nghiệm của bất phương trình này là: x1 ≤ 1 ≤ x2 (giả sử x1 < x2)
Theo định lý Vi-ét, ta có: x1x2 = 1 và x1 + x2 = 2a
+ Nếu a < -1 thì cả hai nghiệm x1 và x2 đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.
+ Nếu a > 1 thì hai nghiệm x1 và x2 đều dương. Ngoài ra vì x1x2 = 1 và x1 ≠ x2 nên x1 < 1 < x2.
Do đó, hệ có nghiệm.