Nội dung bài giảng
Tìm m để hàm số
a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1
b) \(y = - {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\) đạt cực đại tại x = -1;
Hướng dẫn làm bài:
a)
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 \cr} \)
Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:
\(y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow m = - 3\)
Khi đó,
\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 3 \cr
& y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0 \cr} \)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3
b)
\(\eqalign{
& y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3 \cr
& y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 \cr & = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4 \cr} \)
Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :
\(\eqalign{
& y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {(m + 1)^2} = 4 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 3 \hfill \cr
m = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với m = -3 ta có y’ = 9x2 + 12x + 3
\(\Rightarrow y’’ = 18x + 12\)
\(\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6 < 0\)
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.
Với m = 1 ta có:
\(y' = - 7{x^2} - 4x + 3 \)
\(\Rightarrow y'' = - 14x - 4\)
\(\Rightarrow y''( - 1) = 10 > 0\)
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.