Nội dung bài giảng
Cho phương trình ẩn:
\({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\)
a. Giải phương trình với a = -3
b. Giải phương trình với a = 1
c. Giải phương trình với a = 0
d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.
Giải:
a. Khi a = -3, ta có phương trình:
\({{x - 3} \over { - 3 - x}} + {{x + 3} \over { - 3 + x}} = {{ - 3\left[ {3\left( { - 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { - 3} \right)}^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = {{24} \over {9 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} - {{x + 3} \over {x - 3}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} - {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right) - {\left( {x + 3} \right)^3} = - 24 \cr & \Leftrightarrow 3x - 9 - {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 = - 24 \cr & \Leftrightarrow 12x = - 24 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = - 2\) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
b. Khi a = 1, ta có phương trình:
\({{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 - {x^2}}} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {1 - {x^2}}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x - {x^2} - 1 + x = 4 \cr & \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = 1\) (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { - x}} + {x \over x} = {0 \over {{x^2}}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{ - {x^2}} \over {{x^2}}} + {{{x^2}} \over {{x^2}}} = {0 \over {{x^2}}} \cr & \Leftrightarrow - {x^2} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 0\)
d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có:
\({{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 2}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {1 \over 4}}} \cr & \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a - 1}} + {{1 - 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} + {{\left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a - 1 - 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a \cr & \Leftrightarrow 12{a^2} - 4a = 0 \cr & \Leftrightarrow 4a\left( {3a - 1} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa)
Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.