Biết $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\ln (s in x + \cos x)}{\cos^{2} x} d x = \frac{a}{b} \ln 2 + \frac{π}{c}$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Khi đó, $\frac{b c}{a}$ bằng

- 6

\frac{8}{3}

6

- \frac{8}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

\{\begin{cases} u = \ln (sin x + \cos x) \\ d v = \frac{1}{\cos^{2} x} d x \end{cases}

\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{\cos x - s in x}{s in x + \cos x} d x \\ v = \tan x \end{cases}

.
Khi đó:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\ln (s in x + \cos x)}{\cos^{2} x} d x =

\tan x . \ln (\sin x + \cos x) |{}_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} tan x . \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} d x

.
Đặt

J = \int_{0}^{\frac{π}{4}} tan x . \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x - \tan^{2} x}{\tan x + 1} d x

Đặt

\tan x = t \Rightarrow d t = (1 + \tan^{2} x) d x \Rightarrow d x = \frac{d t}{1 + t^{2}}

. Với

x = 0 \to t = 0

và

x = \frac{π}{4} \to t = 1

Ta có :

J = \int_{0}^{1} \frac{t - t^{2}}{(t + 1) . (t^{2} + 1)} dt= \int_{0}^{1} \frac{(t + 1) - (1 + t^{2})}{(1 + t) . (1 + t^{2})} dt= \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 + t^{2}} - \int_{0}^{1} \frac{dt}{t + 1} = \frac{π}{4} - \ln 2

.
Vậy

I = \ln \sqrt{2} - \frac{π}{4} + \ln 2 = \frac{3}{2} \ln 2 - \frac{π}{4} \Rightarrow \frac{b c}{a} = - \frac{8}{3}

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học