Cho các số thực $a, b > 1$ thỏa mãn điều kiện $\log_{2} a + \log_{3} b = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \sqrt{\log_{3} a} + \sqrt{\log_{2} b}$ .

\sqrt{\log_{2} 3 + \log_{3} 2}

\sqrt{\log_{3} 2} + \sqrt{\log_{2} 3}

\frac{1}{2} (\log_{2} 3 + \log_{3} 2)

\frac{2}{\sqrt{\log_{2} 3 + \log_{3} 2}}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đặt

\log_{2} a = x \Rightarrow \{\begin{cases} \log_{3} b = 1 - x \\ 0 < x < 1 \\ \log_{3} a = x \log_{3} 2 \\ \log_{2} b = (1 - x) \log_{2} 3 \end{cases}

Đặt

P = f (x) = \sqrt{x \log_{3} 2} + \sqrt{(1 - x) \log_{2} 3} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{\sqrt{(1 - x) \log_{3} 2} - \sqrt{x \log_{2} 3}}{2 \sqrt{x (1 - x)}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x) \log_{3} 2 = x \log_{2} 3 \Leftrightarrow x = \frac{\log_{3} 2}{\log_{2} 3 + \log_{3} 2}

.
Ta có bảng biến thiên

Vậy

P_{\max} = \sqrt{\log_{2} 3 + \log_{3} 2}

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học