Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $b \geq a^{10} > 1, c > 1$ và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2 \log_{a} c + 5 \log_{c} b + 10 \log_{b} a$ .

\frac{90}{12}

15

21

25

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Đặt

\log_{a} b = x, \log_{b} c = y, \log_{c} a = z

.
Từ

b \geq a^{10}, a > 1, c > 1

và

\log_{a} b + 2 \log_{b} c + 5 \log_{c} a = 12

ta được:

y > 0, z > 0, x \geq 10

và

x + 2 y + 5 z = 12

.
Từ

x + 2 y + 5 z = 12 \Rightarrow 12 - x = 2 y + 5 z > 0 \Rightarrow x < 12

Ta có:

P = \frac{10}{x} + \frac{5}{y} + \frac{2}{z} = \frac{10}{x} + 10 (\frac{1}{2 y} + \frac{1}{5 z}) \geq \frac{10}{x} + \frac{40}{2 y + 5 z} = \frac{10}{x} + \frac{40}{12 - x}

Xét

f (x) = \frac{10}{x} + \frac{40}{12 - x}, x \in [10; 12)

, có

f^{'} (x) = - \frac{10}{x^{2}} + \frac{40}{{(12 - x)}^{2}} > \frac{40}{2^{2}} - \frac{10}{x^{2}} = 10 (1 - \frac{1}{x^{2}}) > 0, \forall x \in [10; 12)

.
Hàm số

f (x)

đồng biến trên

[10; 12)

nên:

f (x) \geq f (10) = 21, \forall x \in [10; 12)

.
Suy ra

P \geq 21

, đẳng thức xảy ra khi:

\{\begin{cases} x = 10 \\ 2 y + 5 z = 2 \\ 2 y = 5 z \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 10 \\ y = \frac{1}{2} \\ z = \frac{1}{5} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b = a^{10} \\ c = a^{5} \\ a > 1 \end{cases}

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học