Cho hai số thực $a$ , $b$ thỏa mãn $a > 0$ , $0 < b < 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{(2 b)}^{a}}{{(2^{a} - b^{a})}^{2}} + \frac{2^{a} + 2. b^{a}}{2. b^{a}}$ .

P_{\min} = \frac{9}{4}

P_{\min} = \frac{7}{4}

P_{\min} = \frac{13}{4}

P_{\min} = 4

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Do

0 < b < 2

và

a > 0

nên

0 < b^{a} < 2^{a}

P = \frac{2^{a} . b^{a}}{{(2^{a} - b^{a})}^{2}} + \frac{1}{2} . \frac{2^{a}}{b^{a}} + 2 = \frac{\frac{2^{a}}{b^{a}}}{{[(\frac{2^{a}}{b^{a}}) - 1]}^{2}} + \frac{1}{2} . \frac{2^{a}}{b^{a}} + 1

. Đặt

t = \frac{2^{a}}{b^{a}}

, khi đó ta được

t > 1

.
Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (t) = \frac{t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2} t + 1

với

t \in (1; + \infty)

Có

f^{'} (t) = \frac{t^{3} - 3 t^{2} + t - 3}{2 {(t - 1)}^{3}}

\lim_{t \to 1^{+}} f (t) = + \infty

;

\lim_{t \to + \infty} f (t) = + \infty

.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được

P_{\min} = \frac{13}{4}

.
Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

t = 3 \Rightarrow \frac{2^{a}}{b^{a}} = 3 \Leftrightarrow 3. b^{a} = 2^{a}

với

0 < b < 2

và

a > 0

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học