Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và cắt các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức $T = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ có giá trị nhỏ nhất.

(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0

(P) : 6 x - 3 y + 2 z - 6 = 0

(P) : 6 x + 3 y + 2 z - 18 = 0

(P) : 3 x + 2 y + 3 z - 10 = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Đáp án: A
Phương pháp :
Cách 1: Phương pháp hình học
Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Vì tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau và gọi H là trực tâm tam giác ABC

\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}

. Do đó:

\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}

nhỏ nhất

\Leftrightarrow \frac{1}{O H^{2}}

nhỏ nhất

\Leftrightarrow O H

lớn nhất.
Ta có:

O H \leq O M = c o n s t

. Do đó,

max O H = O M \Leftrightarrow H \equiv M \Leftrightarrow O M ⊥ (P)

Ta có: (P) qua M(1; 2; 3), nhận làm

\vec{O M} = (1; 2; 3)

VTPT nên (P): x + 2y + 3z – 14 = 0
Cách 2: Phương pháp đại số, sử dụng BĐT Bunhiacopski
Gọi

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

. Do đó (P):

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.
Vì nên

\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1

1 = {(1. \frac{1}{a} + 2 \cdot \frac{1}{b} + 3 \cdot \frac{1}{c})}^{2} \leq (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{1}{14}

Dấu “=” xảy ra

\Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{a}} = \frac{2}{\frac{1}{b}} = \frac{3}{1} \Leftrightarrow a = 2 b = 3 c \Rightarrow a = 14; b = 7; c = \frac{14}{3}

\Rightarrow (P) : \frac{x}{14} + \frac{y}{7} + \frac{z}{\frac{14}{3}} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Các bài toán cực trị liên quan điểm, mặt phẳng, mặt tròn xoay. - Toán Học 12 - Đề số 4

Làm bài

Câu hỏi Toán học

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Các bài toán cực trị liên quan điểm, mặt phẳng, mặt tròn xoay. - Toán Học 12 - Đề số 4

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.