Trong không gian $O x y z$ , cho hai điểm $A (3; 5; - 1)$ và $B (1; 1; 3)$ . Tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(O x y)$ sao cho $|\vec{M A} + \vec{M B}|$ nhỏ nhất là:

M (2; 3; 0)

M (2; - 3; 0)

M (- 2; 3; 0)

M (- 2; - 3; 0)

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1
Do

M

thuộc mặt phẳng

(O x y)

nên

M (x; y; 0)

\Rightarrow \vec{M A} = (3 - x; 5 - y; - 1)

\vec{M B} = (1 - x; 1 - y; 3)

\vec{M A} + \vec{M B} = (4 - 2 x; 6 - 2 y; 2)

.
Khi đó

P = |\vec{M A} + \vec{M B}|

= \sqrt{{(4 - 2 x)}^{2} + {(6 - 2 y)}^{2} + 4}

\geq 2

.
Suy ra

\min P = 2

khi

\{\begin{cases} 4 - 2 x = 0 \\ 6 - 2 y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}

.
Vậy

M (2; 3; 0)

.
Cách 2
+ Gọi

I

là trung điểm

A B

thì

I (2; 3; 1)

.
+ Khi đó

P = |\vec{M A} + \vec{M B}|

= |2 \vec{M I}|

= 2 M I

P

nhỏ nhất khi

M I

ngắn nhất. Điều này xảy ra khi

M

là hình chiếu của

I

lên mặt phẳng

(O x y)

, hay

M (2; 3; 0)

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học