Nội dung bài giảng
Bài 6. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((α)\) có phương trình \(3x + 5y - z -2 = 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình
\(\left\{ \matrix{
x = 12 + 4t \hfill \cr
y = 9 + 3t \hfill \cr
z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)
a) Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((β)\) chứa điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
Giải
a) Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình đường thẳng \(d\) vào phương trình \((α)\), ta có: \(3(12 + 4t) + 5( 9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0\).
\(\Rightarrow 26t + 78 = 0\) \( \Rightarrow t = - 3\) \( \Rightarrow M(0; 0; - 2)\).
b) Vectơ \(\overrightarrow u (4; 3; 1)\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Mặt phẳng \((β)\) vuông góc với \(d\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến. Vì \(M(0; 0; -2) ∈ (β)\) nên phương trình \((β)\) có dạng:
\(4(x - 0) + 3(y - 0) + (z + 2) = 0\)
hay \(4x + 3y + z + 2 = 0\)