Giải bài tập sgk Toán nâng cao Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 16 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = sin4x+cos4⁡x.

Lời giải:

Hàm số xác định trên R.

Ta có f(x) = (sin2⁡⁡x )2⁡+(cos2⁡⁡x )2⁡=(sin2⁡⁡x+cos2⁡x )2⁡-2sin2⁡x.cos2⁡x=1-1/2 sin2⁡⁡2x với x ∈R.

f(x)≤1,∀x ∈R,f(0)=0.

f(x)≥1/2,∀x ∈R (do sin22x≤1);f(π/4)=1-1/2=1/2.

Bài 17 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

f(x)=x2+2x-5 trên đoạn [-2; 3]

f(x)=x3/3+2x2+3x-4 trên [-4; 0]

f(x)=x+1/x trên khoảng (0; +∞)

f(x)=-x2+2x+4 trên đoạn [2; 4]

f(x)=x-1/x trên nửa khoảng (0; 2)

Lời giải:

Bảng biến thiên:

Cách 2, ta có: f(-2) = -5; f(-1) = -6; f(3) = 10

f' (x)=x2+4x+3;f' (x)=0 <=> x = -1 hoặc x = -3

Ta có: f(-4) = -16/3;f(-3)=-4;f(-1)=-16/3;f(0)=-4

Bảng biến thiên:

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên (0; +∞)

f' (x)=-2x+2;f'(x)=0 <=> x = 1 (loại vì x = 1 không thuộc [2;4])

Ta có: f(2)=4;f(4)=-4

Cách 1. Bảng biến thiên:

Cách 2. Vì x ∈ [0;1] nên Phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm trên [0; 1]

Ta có: f(0) = 2; f(1) = 11/3

f(x)=x-1/x;f'(x)=1+(1/x2) >0,∀x ∈(0;2),f(x)liên tục trên (0; 2] nên f(x) đồng biến trên (0; 2]

Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng (0; 2].

Bài 18 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y=2 sin2⁡x+2sinx-1

b) y=cos2⁡x-sinxcosx+4

Lời giải:

Đặt t = sin x, -1≤t≤1

y=f(t)=2t2+2t-1,t ∈[-1;1]

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = f(t) trên [-1;1]. Đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R

f' (t)=4t+2,f' (t)=0 <=> t=-1/2

Bảng biến thiên:

y=cos2x-sinxcosx+4=1-sin22x-1/2 sin2x+4

=-sin2⁡2x-1/2 sin⁡2x+5

Đặt t = sin 2x, -1≤t≤1

y=f(t)=-t2-1/2 t+5;f' (t)=-2t-1/2;f' (x)=0 <=> t=-1/4

Bảng biến thiên:

Bài 19 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Cho tam giác đều ABC cạnh a. người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trị của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là.

Lời giải:

Đặt BM = x (0
Ta có: MN – a – 2x; QM = BM.tan B =x √3

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

S(x)=QM.MN=x √3(a-2x)

S(x)=√3(ax-2x2)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của S(x) trên khoảng (0; a/2)

Ta có S' (x)=√3 (a-4x);S' (x)=0 <=> x=a/4

S đạt giá trị lớn nhất tại x=a/4 và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhât MNQP là:

Bài 20 (trang 22 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ. nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng:

P(n)=480-20n (gam)

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Lời giải:

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân năng:

f(n)=n-P(n)=480n-20n2 (gam)n ∈N*

Xét hàm số f(x) = 480x-20x2 trên (0; +∞)

( Biến n lấy các giá trị nguyên dương được thay bằng biến số x lấy các giá trị trên khoảng (0; +∞))

f' (x)=480-40x;f' (x)=0 <=>x = 12

Tren (0; +∞) hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 12

Suy ra trên tập hợp N* các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n = 12.

Vậy muốn thu hoạch được nhiều cá nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả 12 con cá.