[2H1-3. 2-3] Cho hình lăng trụ đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B = a$ . Trên $B B^{'}$ lấy $M$ sao cho $B^{'} M = 2 B M$ . Biết $A^{'} M ⊥ B^{'} C$ . Tìm thể tích của lăng trụ đều.

\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{16}

\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}

\frac{3 a^{3}}{8}

\frac{3 a^{3}}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải

Đặt

A A' = x, x > 0

.
Có :

\vec{A^{'} M} . \vec{B^{'} C} = (\vec{A^{'} B^{'}} + \frac{2}{3} \vec{B' B}) (\vec{B^{'} C^{'}} + \vec{B^{'} B})

= \vec{A^{'} B^{'}} . \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{A^{'} B^{'}} . \vec{B^{'} B} + \frac{2}{3} \vec{B' B} . \vec{B^{'} C^{'}} + \frac{2}{3} \vec{B' B} . \vec{B^{'} B}

= a . a . \cos 120^{0} + a . x . \cos 90^{0} + \frac{2}{3} . x . a . \cos 90^{0} + \frac{2}{3} . x^{2} . \cos 0^{0}

= - \frac{a^{2}}{2} + \frac{2}{3} x^{2}

.
Do

A^{'} M ⊥ B^{'} C \Rightarrow \vec{A^{'} M} . \vec{B^{'} C} = 0 \Rightarrow - \frac{a^{2}}{2} + \frac{2}{3} x^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Vậy

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{△ A B C} = \frac{3 a^{3}}{8}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học