[2H3-6. 18-3] Trong không gian $O x y z$ cho mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0$ và ba điểm $A (3; 1; 1)$ , $B (7; 3; 9)$ và $C (2; 2; 2)$ . Điểm $M (a; b; c)$ trên $(P)$ sao cho $|\vec{M A} + 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $2 a - 10 b + c$ .

\frac{62}{9}

\frac{27}{9}

\frac{46}{9}

\frac{43}{9}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Tác giả: Lê Hoa; Fb: Lê Hoa
Chọn A
+ Gọi

I (x; y; z)

là điểm thỏa mãn

\vec{I A} + 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C} = \vec{0}

.
Ta có

\{\begin{cases} \vec{I A} = (3 - x; 1 - y; 1 - z) \\ \vec{I B} = (7 - x; 3 - y; 9 - z) \\ \vec{I C} = (2 - x; 2 - y; 2 - z) \end{cases}

.
+

\vec{I A} + 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C} = \vec{0} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 23 - 6 x = 0 \\ 13 - 6 y = 0 \\ 25 - 6 z = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{23}{6} \\ y = \frac{13}{6} \\ z = \frac{25}{6} \end{cases}

\Rightarrow I (\frac{23}{6}; \frac{13}{6}; \frac{25}{6})

|\vec{M A} + 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C}| = |6 \vec{M I} + (\vec{I A} + 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C})| = |6 \vec{M I}| = 6 M I

|\vec{M A} + 2 \vec{M B} + 3 \vec{M C}|

đạt giá trị nhỏ nhất

\Leftrightarrow

M

là hình chiếu của

I

lên mặt phẳng

(P)

.
+ Gọi đường thẳng

(d)

đi qua

I

và vuông góc

(P)

.
Ta có

(d)

đi qua

I (\frac{23}{6}; \frac{13}{6}; \frac{25}{6})

và nhận

\vec{n_{p}} = (1; 1; 1)

làm véc tơ chỉ phương.
Suy ra phương trình

(d) : \{\begin{cases} x = \frac{23}{6} + t \\ y = \frac{13}{6} + t \\ z = \frac{25}{6} + t \end{cases}

M \in (d) \Leftrightarrow M (\frac{23}{6} + t; \frac{13}{6} + t; \frac{25}{6} + t)

Do đó

\{\begin{cases} a = \frac{13}{9} \\ b = \frac{- 2}{9} \\ c = \frac{16}{9} \end{cases}

\Rightarrow

2 a - 10 b + c = \frac{62}{9}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học