Cho hàm số $f (x) = m x^{4} + n x^{3} + p x^{2} + q x + r (m, n, p, q, r \in ℝ)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình $f (x) = r$ có số phần tử là

4

3

1

2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải: Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Dựa trên đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

ta có

f^{'} (x) = k (x + 1) (x - \frac{5}{4}) (x - 3), k < 0.

Mặt khác

f^{'} (x) = 4 m x^{3} + 3 n x^{2} + 2 p x + q .

Đồng nhất ta có

4 m x^{3} + 3 n x^{2} + 2 p x + q = k (x + 1) (x - \frac{5}{4}) (x - 3), \forall x

\Leftrightarrow 4 m x^{3} + 3 n x^{2} + 2 p x + q = k (x^{3} - \frac{13}{4} x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{15}{4}), \forall x

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 m = k \\ 3 n = - \frac{13}{4} k \\ 2 p = - \frac{1}{2} k \\ q = \frac{15}{4} k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \frac{1}{4} k \\ n = - \frac{13}{12} k \\ p = - \frac{1}{4} k \\ q = \frac{15}{4} k \end{cases} \Rightarrow f (x) = k (\frac{1}{4} x^{4} - \frac{13}{12} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{15}{4} x) + r .

f (x) = r \Leftrightarrow k (\frac{1}{4} x^{4} - \frac{13}{12} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{15}{4} x) + r = r \Leftrightarrow \frac{1}{4} x^{4} - \frac{13}{12} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{15}{4} x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - \frac{5}{3} \\ x = 3 \end{array} .

Chọn đáp án B
Cách 2: Xét hàm số

f (x)

có

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{5}{4} \\ x = 3 \end{array}

Ta đi so sánh

f (0)

với

f (3)

.
Ta có:

f^{'} (x) = k (x + 1) (x - \frac{5}{4}) (x - 3) \Rightarrow f (3) - f (0) = \int_{0}^{3} f^{'} (x) d x = \int_{0}^{3} k (x + 1) (x - \frac{5}{4}) (x - 3) d x = 0

\Rightarrow f (0) = f (3) .

Bảng biến thiên:

Ta có

r = f (0) \in (f (\frac{5}{4}); f (- 1)) .

Đường thẳng

y = f (0)

cắt đồ thị hàm số

f (x)

tại 3 điểm phân biệt. Do đó phương trình

f (x) = r = f (0)

có 3 nghiệm phân biệt. Chọn đáp án B

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học