Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$ . Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(C)$ . Xét tam giác đều $A B I$ có hai đỉnh $A$ , $B$ thuộc $(C)$ , đoạn thẳng $A B$ có độ dài bằng:

\sqrt{6}

2 \sqrt{3}

2

2 \sqrt{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải: Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Giả sử

A (a; \frac{a - 1}{a + 2})

B (b; \frac{b - 1}{b + 2})

I (- 2; 1)

\vec{I A} = (a + 2; - \frac{3}{a + 2})

\vec{I B} = (b + 2; - \frac{3}{b + 2})

\Rightarrow \vec{I A} = (a_{1}; - \frac{3}{a_{1}})

\vec{I B} = (b_{1}; - \frac{3}{b_{1}})

.
Do tam giác

A B I

đều nên

\{\begin{cases} I A^{2} = I B^{2} = A B^{2} = a_{1}^{2} + \frac{9}{a_{1}^{2}} = b_{1}^{2} + \frac{9}{b_{1}^{2}} \\ \cos (\vec{I A}, \vec{I B}) = \frac{1}{2} \end{cases}

\Rightarrow \{\begin{cases} (a_{1}^{2} - b_{1}^{2}) (1 - \frac{9}{a_{1}^{2} b_{1}^{2}}) = 0 (1) \\ a_{1} b_{1} + \frac{9}{a_{1} b_{1}} = \frac{1}{2} (a_{1}^{2} + \frac{9}{a_{1}^{2}}) (2) \end{cases}

(1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a_{1} = - b_{1} \\ a_{1} = b_{1} \\ a_{1} b_{1} = 3 \\ a_{1} b_{1} = - 3 \end{array}

Nếu

a_{1} = - b_{1}

thì

(2)

vô lý.
Nếu

a_{1} = b_{1}

thì

A \equiv B

\Rightarrow

Loại.
Nếu

a_{1} b_{1} = - 3

thì

(2)

vô lý.
Nếu

a_{1} b_{1} = 3

thì

(2) \Rightarrow a_{1}^{2} + \frac{9}{a_{1}^{2}} = 12

\Rightarrow A B = 2 \sqrt{3}

.
Vậy

A B = 2 \sqrt{3}

.
Cách 2:

I (- 2; 1)

(C) : y = \frac{x - 1}{x + 2}

\overset{I X Y}{\Rightarrow} (C) : Y = - \frac{3}{X}

.
Trong hệ trục toạn độ

I X Y

(C)

nhận đường thẳng

Y = - X

làm trục đối xứng.

Δ A B I

đều nên

I A

tạo với

I X

một góc

15 °

\Rightarrow A \in d : Y = - \tan 15 ° . X

\Rightarrow A \in d : Y = (\sqrt{3} - 2) X

\Rightarrow A (X; (\sqrt{3} - 2) X)

.
Mà

A \in (C)

\Rightarrow (\sqrt{3} - 2) X = - \frac{3}{X}

\Rightarrow X^{2} = \frac{3}{2 - \sqrt{3}} = 3 (2 + \sqrt{3})

\Rightarrow A B^{2} = I A^{2} = X^{2} + {[(\sqrt{3} - 2) X]}^{2}

= 12

\Rightarrow A B = 2 \sqrt{3}

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học