Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị hàm số như hình dưới đây:
$Description: C:\Users\Admin\Downloads\54407622_835407746801896_4856125397655355392_n.png$
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $f (x^{3} + 3 x^{2} - m) - 3 = 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[- 1; 2]$ ?

23

22

19

24

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số

y = f (x)

ta thấy:

f (x^{3} + 3 x^{2} - m) - 3 = 0 \Leftrightarrow f (x^{3} + 3 x^{2} - m) = 3 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{3} + 3 x^{2} - m = - 1 \\ x^{3} + 3 x^{2} - m = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{3} + 3 x^{2} = - 1 + m \\ x^{3} + 3 x^{2} = 2 + m \end{matrix}

.
Suy ra phương trình

f (x^{3} + 3 x^{2} - m) - 3 = 0

có nghiệm thuộc đoạn

[- 1; 2]

\Leftrightarrow

phương trình

x^{3} + 3 x^{2} = - 1 + m

có nghiệm thuộc đoạn

[- 1; 2]

hoặc phương trình

x^{3} + 3 x^{2} = 2 + m

có nghiệm thuộc đoạn

[- 1; 2]

.
Xét hàm số

g (x) = x^{3} + 3 x^{2}

trên đoạn

[- 1; 2]

.
Suy ra

g' (x) = 3 x^{2} + 6 x

. Ta có

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \end{matrix}

.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biên thiên ta thấy:
 Phương trình

x^{3} + 3 x^{2} = - 1 + m

có nghiệm thuộc đoạn

[- 1; 2]

khi và chỉ khi

0 \leq - 1 + m \leq 20 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 21

.
 Phương trình

x^{3} + 3 x^{2} = 2 + m

có nghiệm thuộc đoạn

[- 1; 2]

khi và chỉ khi

0 \leq 2 + m \leq 20 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 18

.
 Từ đó suy ra phương trình

f (x^{3} + 3 x^{2} - m) - 3 = 0

có nghiệm thuộc đoạn

[- 1; 2]

khi và chỉ khi

- 2 \leq m \leq 21

.
Mà

m

là số nguyên nên

m \in \{- 2; - 1; 0. . .; 20; 21\}

.
Vậy có 24 giá trị nguyên của

m

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học