Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A = 6, S B = 2, S C = 4, A B = 2 \sqrt{10}, \hat{S B C} = 90^{0}, \hat{A S C} = 120^{0}$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và trung điểm $N$ của $S C$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(S A C)$ và cắt $S A$ tại $M$ . Tính $k = \frac{V_{S . B M N}}{V_{S . A B C}}$

\frac{2}{9}

\frac{2}{5}

\frac{1}{6}

\frac{1}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

D \in S A

sao cho

S D = 2

Dễ thấy trong tam giác vuông

B N S

có

S B = S N = S C = B N = 2

, do đó

\hat{B C S} = 30^{0}

. Suy ra

\hat{B S C} = 60^{0}

.
Xét tam giác

Δ S A B

ta có:

2^{2} + 6^{2} = {(2 \sqrt{10})}^{2} \Rightarrow S A^{2} + S B^{2} = A B^{2}

. Vậy

Δ S A B

vuông tại

S

.
Áp đụng định lí cosin lần lượt cho các tam giác

S B N; S D N; ​ S B D

ta có:

B N^{2} = S B^{2} + S N^{2} - S B . S N = S N^{2} (1)

D N^{2} = S D^{2} + S N^{2} + S D . S N = 3 S N^{2} (2)

B D^{2} = S B^{2} + S D^{2} (3)

Từ

(1), (2), (3)

ta có tam giác

Δ B D N

vuông tại

B

Gọi

I

là trung điểm của

D N

ta có:

S B = S N = S D; I B = I N = I D

\Rightarrow S I ⊥ (B D N) \Rightarrow (P) \equiv (B D N) \Rightarrow M \equiv D

;

k = \frac{V_{S . B M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S N}{S C} . \frac{S M}{S A} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học