Cho $x$ , $y$ thỏa mãn $\log_{3} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2} + x y + 2} = x (x - 9) + y (y - 9) + x y$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = \frac{3 x + 2 y - 9}{x + y + 10}$ khi $x$ , $y$ thay đổi.

2

3

1

0

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Điều kiện:

x + y > 0

.
Đẳng thức đã cho tương đương với

\log_{3} \frac{9 (x + y)}{x^{2} + y^{2} + x y + 2} = x (x - 9) + y (y - 9) + x y + 2 (*)

.
Đặt

u = x^{2} + y^{2} + x y + 2 > 0

v = 9 x + 9 y > 0

, ta có.

(*) \Leftrightarrow \log_{3} \frac{v}{u} = u - v \Leftrightarrow u + \log_{3} u = v + \log_{3} v

.
Mà hàm số

f (t) = t + \log_{3} t

đồng biến trên

(0; + \infty)

nên suy ra

(*) \Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + x y - 9 x - 9 y + 2 = 0

.
Ta có

x^{2} + y^{2} + x y - 9 x - 9 y + 2 = 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{y}{2})}^{2} - 9 (x + \frac{y}{2}) = - \frac{3}{4} y^{2} + \frac{9}{2} y - 2 = - \frac{3}{4} {(y - 3)}^{2} + \frac{19}{4}

.
Dẫn đến

{(x + \frac{y}{2})}^{2} - 9 (x + \frac{y}{2}) \leq \frac{19}{4} \Rightarrow - \frac{1}{2} \leq x + \frac{y}{2} \leq \frac{19}{2} \Rightarrow - 1 \leq 2 x + y \leq 19

.
Suy ra

P = \frac{3 x + 2 y - 9}{x + y + 10} = \frac{x + y + 10 + 2 x + y - 19}{x + y + 10} = 1 + \frac{2 x + y - 19}{x + y + 10} \leq 1

P = 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y = 19 \\ y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 \\ y = 3 \end{cases}

.
Vậy

\max P = 1

.
Cách 2:
Từ giả thiết, ta có

x^{2} + y^{2} + x y - 9 x - 9 y + 2 = 0 (*)

Ta thấy

x = 8, y = 3

thỏa mãn

(*)

, đặt

x = a + 8, y = b + 3

khi đó:

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + x y - 9 x - 9 y + 2 = 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + a b + 10 a + 5 = 0 \Leftrightarrow 10 a + 5 b = - (a^{2} + a b + b^{2}) \\ \Rightarrow 10 a + 5 b \leq 0 \Leftrightarrow 2 a + b \leq 0 \end{array}

Ta có:

P = \frac{3 x + 2 y - 9}{x + y + 10} = \frac{3 a + 2 b + 21}{a + b + 21} = 1 + \frac{2 a + b}{a + b + 21} \leq 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x = 8, y = 3

. Vậy

P

đạt giá trị lớn nhất bằng 1.

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

Chiều cao (m)	1,45 – 1,55	1,55 – 1,65	1,65 – 1,75	1,75 – 1,85
Số sinh viên	7	15	10	4

Trọng lượng (kg)	45	50	55	60	65
Số sinh viên	8	14	28	12	18

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

Câu hỏi Toán học

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510

X	40	20	25	20	30	50	40	20	50	40	25	50
Y	385	400	395	365	475	440	490	420	560	525	480	510