Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 1$ . Đặt $P = \frac{x^{2} + 6 x y}{1 + 2 x y + 2 y^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.P không có giá trị nhỏ nhất.

B.P không có giá trị lớn nhất.

C.Giá trị nhỏ nhất của P là

- 3

D.Giá trị lớn nhất của P là

1

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Đặt

x = \sin t; y = \cos t

P = \frac{x^{2} + 6 x y}{1 + 2 x y + 2 y^{2}} = \frac{\sin^{2} t + 6 \sin t . \cos t}{1 + 2 \sin t . \cos t + 2 \cos^{2} t} = \frac{\frac{1 - \cos 2 t}{2} + 3 \sin 2 t}{1 + \sin 2 t + 1 + \cos 2 t} = \frac{6 \sin 2 t - \cos 2 t + 1}{2 \sin 2 t + 2 \cos 2 t + 4} (1)

(1)

tương đương

(2 P - 6) \sin 2 t + (2 P + 1) \cos 2 t = 1 - 4 P (2)

.
Phương trình

(2)

có nghiệm khi

{(2 P - 6)}^{2} + {(2 P + 1)}^{2} \geq {(1 - 4 P)}^{2} \Leftrightarrow 2 P^{2} + 3 P - 9 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq P \leq \frac{3}{2}

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

- 3

khi

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x^{2} + 6 x y = - 3 - 6 x y - 6 y^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x^{2} + 12 x y + 6 y^{2} + 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ {(2 x + 3 y)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x = \frac{- 3}{2} y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{- 6 \sqrt{13}}{13}; y = \frac{4 \sqrt{13}}{13} \\ x = \frac{6 \sqrt{13}}{13}; y = \frac{- 4 \sqrt{13}}{13} \end{cases} \end{array}

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học