Cho $x, y$ thỏa mãn $5 x^{2} + 6 x y + 5 y^{2} = 16$ và hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P = f (\frac{x^{2} + y^{2} - 2}{x^{2} - y^{2} - 2 x y + 4})$ . Tính $M^{2} + m^{2}$

M^{2} + m^{2} = 4

M^{2} + m^{2} = 1

M^{2} + m^{2} = 25

M^{2} + m^{2} = 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Đặt

t = \frac{x^{2} + y^{2} - 2}{x^{2} - y^{2} - 2 x y + 4}

\Rightarrow P = f (t)

. Vì

5 x^{2} + 6 x y + 5 y^{2} = 16

nên

t = \frac{x^{2} + y^{2} - \frac{1}{8} (5 x^{2} + 6 x y + 5 y^{2})}{x^{2} - y^{2} - 2 x y + \frac{1}{4} (5 x^{2} + 6 x y + 5 y^{2})} = \frac{3 (x^{2} + y^{2}) - 6 x y}{18 x^{2} + 2 y^{2} - 4 x y} = \frac{3 {(x - y)}^{2}}{2 {(x - y)}^{2} + 16 x^{2}} .

Do đó

0 \leq t \leq \frac{3}{2} \Rightarrow P = f (t)

với

t \in [0; \frac{3}{2}]

Dựa vào đồ thị, ta có

M = \underset{[0; \frac{3}{2}]}{M a x} P = f (0) = 0; m = \underset{[0; \frac{3}{2}]}{M i n} P = f (1) = - 2.

Suy ra

M^{2} + m^{2} = 4

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học