Xét đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x^{3} + 3 a x + b$ với $a, b$ là các số thực. Gọi $M, N$ là hai điểm phân biệt thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến với $(C)$ tại hai điểm đó có hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng $M N$ bằng 1. Khi đó giá trị nhỏ nhất của $S = b^{2} - 3 a^{2}$ bằng

0

- 3

- 1

- 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

y' = 3 x^{2} + 3 a

, gọi tọa độ

M (m; m^{3} + 3 a m + b), N (n; n^{3} + 3 a n + b)

với

(m \neq n)

.
Hệ số góc tiếp tuyến tại

M

và

N

bằng 3 nên ta có:

y' (m) = y' (n) = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 m^{2} + 3 a = 3 \\ 3 n^{2} + 3 a = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \pm n \\ n^{2} = 1 - a \end{cases}

Vì

(m \neq n)

nên

\{\begin{cases} m = - n \\ m^{2} = n^{2} = 1 - a \\ a < 1 \end{cases}

. Khi đó

M (- n; - n^{3} - 3 a n + b), \vec{M N} = (2 n; 2 n^{3} + 6 a n)

.
Chọn

\vec{u_{M N}} = (1; 2 a + 1)

là vectơ chỉ phương,

\vec{n_{M N}} = (- 2 a - 1; 1)

là vectơ phép tuyến của đường thẳng

(M N)

. Phương trình đường thẳng

(M N) :

(- 2 a - 1) (x + n) + (y + n^{3} + 3 a n - b) = 0

.
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến

(M N) :

d (O; M N) = 1 \Leftrightarrow \frac{|n (- 2 a - 1) + n^{3} + 3 a n - b|}{\sqrt{{(2 a + 1)}^{2} + 1}} = 1

\begin{array}{l} \Leftrightarrow |n (a - 1) + n^{3} - b| = \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 2} \Leftrightarrow |n (a - 1) + n (1 - a) - b| = \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 2} \\ \Leftrightarrow |b| = \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 2} \Leftrightarrow b^{2} = 4 a^{2} + 4 a + 2. \end{array}

Ta có

S = b^{2} - 3 a^{2} = a^{2} + 4 a + 2

với

a < 1

. Bảng biến thiên của

S = a^{2} + 4 a + 2

là:

Vậy

M i n S = - 2 \Leftrightarrow a = - 2

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học