Cho $x, y$ là hai số dương thoả mãn $2 x + y \leq 1$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{x y} + \frac{3}{4 x^{2} + y^{2}}$ thuộc khoảng nào?

(10 \sqrt{2}; 11 \sqrt{3} - 3)

(10; 9 \sqrt{2})

(7 \sqrt{2}; 10)

(\sqrt{2}; 10 \sqrt{2})

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Vì

x, y

là hai số dương và theo giả thiết

2 x + y \leq 1

nên:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

1 \geq 2 x + y \geq 2 \sqrt{2 x y} \Rightarrow 0 < x y \leq \frac{1}{8}

.
Mặt khác vì

0 < 2 x + y \leq 1

nên ta có:

\begin{array}{l} P = \frac{1}{x y} + \frac{3}{4 x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{x y} + \frac{3}{{(2 x + y)}^{2} - 4 x y} \geq \frac{1}{x y} + \frac{3}{1 - 4 x y} = \frac{1}{4 x y} + 3 (\frac{1}{4 x y} + \frac{1}{1 - 4 x y}) \\ \geq 2 + 3 (\frac{1}{4 x y} + \frac{1}{1 - 4 x y}) (1) (do 0 < x y \leq \frac{1}{8}) \end{array}

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

\frac{1}{4 x y} + \frac{1}{1 - 4 x y} \geq \frac{2}{\sqrt{(4 x y) (1 - 4 x y)}} \geq \frac{4}{4 x y + 1 - 4 x y} = 4 (2)

Từ

(1), (2) \Rightarrow P \geq 14.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x = \frac{1}{4}; y = \frac{1}{2}

.
Giá trị nhỏ nhất của

P

bằng

14 \in (\sqrt{2}; 10 \sqrt{2}) .

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học