Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \) có giá trị là:
A.A.
\(I = \frac{\pi }{{12}} + \ln \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\)
B.B.
\(I = \frac{\pi }{{12}} + \ln \frac{{\sqrt 3 + 1}}{4}\)
C.C.
\(I = \frac{\pi }{{12}} - \frac{{\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}} \right)}}{2}\)
D.D.
\(I = \frac{\pi }{{12}} + \ln \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}\)
Đáp án và lời giải
Đáp án:C
Lời giải:Xét \({I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{I_2} = I + {I_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {dx} \\
{I_3} = {I_1} - I = \int\limits_{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}^1 {\frac{1}{t}dt}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I = \frac{{{I_2} - {I_3}}}{2} = \frac{\pi }{{12}} - \frac{{\ln \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}}{2},{\rm{ }}t = \sin x + \cos x
\end{array}\)
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
