Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : (m + 2 n) x + (m - n) y - (m - 2 n) z + 3 m = 0$ ( $m$ , $n$ là tham số) và điểm $A (0; - 1; - 1)$ . Khoảng cách lớn nhất từ $A$ đến $(P)$ bằng

\sqrt{3}

2 \sqrt{2}

\sqrt{2}

3 \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1: Phương pháp đại số.
Điều kiện để tồn tại

(P)

là:

{(m + 2 n)}^{2} + {(m - n)}^{2} + {(m - 2 n)}^{2} > 0 \Leftrightarrow 3 m^{2} - 2 m n + 9 n^{2} > 0

(*)

.
Khi đó,

d (A; (P)) = \frac{|- (m - n) + (m - 2 n) + 3 m|}{\sqrt{{(m + 2 n)}^{2} + {(m - n)}^{2} + {(m - 2 n)}^{2}}} = \frac{|3 m - n|}{\sqrt{3 m^{2} - 2 m n + 9 n^{2}}}

= \sqrt{\frac{9 m^{2} - 6 m n + n^{2}}{3 m^{2} - 2 m n + 9 n^{2}}} = \sqrt{\frac{3 (3 m^{2} - 2 m n + 9 n^{2}) - 26 n^{2}}{3 m^{2} - 2 m n + 9 n^{2}}}

Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow \{\begin{cases} n = 0 \\ m \neq 0 \end{cases}

.
Vậy

\max d (A; (P)) = \sqrt{3}

.
Cách 2: Phương pháp hình học.
Ta viết lại phương trình

(P)

thành

m . (x + y - z + 3) + n . (2 x - y + 2 z) = 0

\Rightarrow (P)

là chùm mặt phẳng quay quanh đường thẳng

Δ : \{\begin{cases} x + y - z + 3 = 0 \\ 2 x - y + 2 z = 0 \end{cases} (I)

Δ

có một VTCP

\vec{u} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = (1; - 4; - 3)

, với

\vec{n_{1}} = (1; 1; - 1)

và

\vec{n_{2}} = (2; - 1; 2)

.
Mặt khác, cho

z = 0

thì

(I)

trở thành:

\{\begin{cases} x + y = - 3 \\ 2 x - y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 2 \end{cases}

\Rightarrow Δ

đi qua điểm

B (- 1; - 2; 0)

.
Do

(P)

là chùm mặt phẳng quay quanh

Δ

nên

d (A; (P)) \leq d (A; Δ) = \frac{|[\vec{A B}; \vec{u}]|}{|\vec{u}|}

.
$Description: C:\Users\Win7SP1-64\Google Drive\Diễn đàn GV Toán\Hình\47 TL.png$
Ta có:

\vec{A B} = (- 1; - 1; 1) \Rightarrow [\vec{A B}; \vec{u}] = (7; - 2; 5) \Rightarrow \frac{|[\vec{A B}; \vec{u}]|}{|\vec{u}|} = \frac{\sqrt{7^{2} + {(- 2)}^{2} + 5^{2}}}{\sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \sqrt{3}

.
Vậy

\max d (A; (P)) = \sqrt{3}

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi