Sự tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số trùng phương

Nội dung bài giảng

THỨC TRỌNG TÂM

Cho hàm số có đồ thị và đường thẳng có đồ thị . Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : 

Đặt ta có phương trình

-  và có bốn giao điểm có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt phương trình thỏa . (Trường hợp này thường gặp)

-  và có ba giao điểm có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm .

-  và có hai giao điểm có hai nghiệm phân biệt có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.

-  và không có giao điểm vô nghiệm vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm. và có một giao điểm có một nghiệm có nghiệm và một nghiệm âm.

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị và trục hoành.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Vậy có hai giao điểm:

 

Ví dụ 2: Tìm để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình:

Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường và đường thẳng .

Số nghiệm của bằng số giao điểm của và .

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số . Tập xác định .

Đạo hàm .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có bốn nghiệm phân biệt .

Vậy thỏa yêu cầu bài toán.

 

Ví dụ 3: Cho hàm số . Định m để đồ thị (C_m) cắt đường thẳng tại bốn điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và : .

Đặt , phương trình trở thành .

và có bốn giao điểm có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt.

.

Vậy thỏa yêu cầu bài toán.

 

Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của và : là .

Đặt , ta có phương trình

Khi đó .

Yêu cầu bài toán và .

Vậy và thỏa yêu cầu bài toán.

 

Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị là . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

Đặt , phương trình trở thành:

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt

(*)

Khi đó phương trình có hai nghiệm . Suy ra phương trình có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng (3)

Theo định lý Viet ta có

Từ và ta suy ra được

Thay vào ta được (thỏa (*))

Vậy giá trị cần tìm là