[Mức độ 3] Gọi $(C)$ là đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = m x^{4} - (m^{2} + 1) x^{2} + m^{2} - m + 1$ và $A$ , $B$ là giao điểm của $(C)$ với trục hoành. Khi $A B = 2$ ,mệnh đề nào dưới đây đúng

m \in (4; 6)

m \in (2; 4)

m \in (- 3; - 1)

m \in (- 1; 2)

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải

y' = 4 m x^{3} - 2 (m^{2} + 1) x

= 2 x [2 m x^{2} - (m^{2} + 1)]

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 2 m x^{2} = m^{2} + 1 (*) \end{array}

Theo yêu cầu bài toán phương trình

(*)

phải có hai nghiệm phân biệt khác

0

\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ 2 m (m^{2} + 1) > 0 \\ m^{2} + 1 \neq 0 \end{cases}

\Leftrightarrow m > 0

y = m x^{4} - (m^{2} + 1) x^{2} + m^{2} - m + 1

= \frac{1}{4} x . y^{'} - \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} + m^{2} - m + 1

Nên đường parabol đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

y = - \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} + m^{2} - m + 1

.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và trục hoành

- \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x^{2} + m^{2} - m + 1 = 0

Gọi

A (x_{1}, y_{1})

B (x_{2}, y_{2})

với

x_{1}

x_{2}

là nghiệm của phương trình

(*)

.
Áp dụng định lý Viet ta có

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 0 \\ x_{1} x_{2} = - \frac{2 (m^{2} - m + 1)}{m^{2} + 1} \end{cases}

A B = 2

\Leftrightarrow A B^{2} = 4

\Leftrightarrow {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} = 4

\Leftrightarrow {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {[- \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x_{2}^{2} + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) x_{1}^{2}]}^{2} = 4

\Leftrightarrow {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {[m^{2} - m + 1 - (m^{2} - m + 1)]}^{2} = 4

\Leftrightarrow {(x_{2} - x_{1})}^{2} = 4

\Leftrightarrow {(x_{2} + x_{1})}^{2} - 4 x_{2} x_{1} = 4

\Leftrightarrow \frac{2 (m^{2} - m + 1)}{m^{2} + 1} = 1

\Leftrightarrow 2 m^{2} - 2 m + 2 = m^{2} + 1

\Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 1 = 0

\Leftrightarrow m = 1

.
Vậy

m \in (- 1; 2)

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi