Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có $S A = a \sqrt{11}$ , cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng $(S B C)$ và $(S C D)$ bằng $\frac{1}{10}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng

3 a^{3}

9 a^{3}

4 a^{3}

12 a^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

H

là tâm của hình vuông

A B C D

nên

S H ⊥ (A B C D)

. Đặt

m = H A

n = S H

. Do tam giác

S A H

vuông tại H nên

m^{2} + n^{2} = 11 a^{2}

Xây dựng hệ trục tọa độ như sau:

H (0; 0; 0)

B (m; 0; 0)

D (- m; 0; 0)

C (0; m; 0)

S (0; 0; n)

Khi đó phương trình mặt phẳng

(S B C)

là:

\frac{x}{m} + \frac{y}{m} + \frac{z}{n} = 1

hay véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

(S B C)

là

\vec{n_{1}} = (n; n; m)

.
Khi đó phương trình mặt phẳng

(S C D)

là:

\frac{x}{- m} + \frac{y}{m} + \frac{z}{n} = 1

hay véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

(S B C)

là

\vec{n_{2}} = (n; - n; - m)

Do cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng

(S B C)

và

(S C D)

bằng

\frac{1}{10}

nên

\frac{1}{10} = \frac{| \vec{n_{1}} . \vec{n_{2}} |}{| \vec{n_{1}} | . | \vec{n_{2}} |}

hay

\frac{m^{2}}{2 n^{2} + m^{2}} = \frac{1}{10}

mà

n^{2} = 11 a^{2} - m^{2}

Vậy

\frac{m^{2}}{2 n^{2} + m^{2}} = \frac{1}{10} \Leftrightarrow \frac{m^{2}}{22 a^{2} - m^{2}} = \frac{1}{10} \Leftrightarrow m^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow m = a \sqrt{2} \Rightarrow S H = 3 a

m = H A = a \sqrt{2}

nên

A B = 2 a

,
Chiều cao của hình chóp là

S H = 3 a

.
Diện tích của hình vuông là

S_{A B C D} = 4 a^{2}

.
Thể tích của khối chóp

S . A B C D

là:

V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{1}{3} . 4 a^{2} . 3 a = 4 a^{3}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học