Cho hình chóp $S . A B C D$ có $S A = a$ , $S B = 2 a$ , $S C = 3 a$ , $\hat{A S B} = \hat{A S C} = \hat{B S C} = 60 °$ và đáy $A B C D$ là hình bình hành. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S . A B C D$ .

V = a^{3} \sqrt{2}

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

V = 3 a^{3} \sqrt{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

+ Trên

S B

S C

lần lượt lấy hai điểm

B^{'}

C^{'}

sao cho

S B^{'} = S C^{'} = a

. Khi đó
Ta có:

S A = S B^{'} = S C^{'} = a

và

\hat{A S B} = \hat{A S C} = \hat{B S C} = 60 °

Suy ra

S . A B^{'} C^{'}

là hình chóp đều, có các mặt bên là tam giác đều.

\Rightarrow A B^{'} = B^{'} C^{'} = A C^{'}

hay đáy

A B^{'} C^{'}

là tam giác đều.
+ Ta có:

V_{S . A B C D} = 2. V_{S . A B C}

.
Lại có:

\frac{V_{S . A B C}}{V_{S . A B^{'} C^{'}}} = \frac{S B . S C}{S B^{'} . S C^{'}} = 6

nên

V_{S . A B C} = 6 V_{S . A B^{'} C^{'}}

Suy ra

V_{S . A B C D} = 2. V_{S . A B C} = 12. V_{S . A B^{'} C^{'}}

+ Tính thể tích khối chóp đều

S . A B^{'} C^{'}

.
 Xét tam giác

S A C^{'}

có

S A = S C^{'} = a

và

\hat{A S C} = 60 °

. Suy ra tam giác

A B^{'} C^{'}

là tam giác đều nên

S_{A B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

.
 Gọi H là trọng tâm tam giác

A B^{'} C^{'}

khi đó

A H = \frac{2}{3} \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

và

S H = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

Suy ra

V_{S . A B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} S H . S_{A B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

Vậy

V_{S . A B C D} = 2. V_{S . A B C} = 12. V_{S . A B^{'} C^{'}} = a^{3} \sqrt{2}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học