Tính thể tích $V$ của khối chóp tam giác đều $S . A B C$ , biết chiều cao hình chóp bằng $h$ , $\hat{S B A} = α$ .

V = \frac{h^{3} \sqrt{3}}{3 \tan^{2} α + 1}

V = \frac{h^{2} \sqrt{3}}{1 - 3 \tan^{2} α}

V = \frac{h^{3} \sqrt{3}}{3 \tan^{2} α - 1}

V = \frac{h^{3} \sqrt{3}}{1 - 3 \tan^{2} α}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

O

là trọng tâm

Δ A B C

và

M

là trung điểm

A B

. Đặt

A B = 2 a

(

a > 0

).
Vì

O

cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

nên

S O ⊥ (A B C)

.
Mặt khác, vì

Δ S A B

cân tại

S

nên

S M ⊥ A B

\Rightarrow Δ S M B

vuông tại

M \Rightarrow S M = M B . \tan α = a \tan α

(1)

.
Ngoài ra,

O M = \frac{1}{3} C M = \frac{1}{3} \cdot \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Δ S O M

vuông tại

O \Rightarrow S M = \sqrt{S O^{2} + O M^{2}} = \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{3}}

(2)

.
Từ

(1)

và

(2) \Rightarrow a \tan α = \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{3}} \Rightarrow 3 a^{2} . \tan^{2} α = 3 h^{2} + a^{2} \Rightarrow a^{2} . (3 \tan^{2} α - 1) = 3 h^{2}

\Rightarrow a^{2} = \frac{3 h^{2}}{3 \tan^{2} α - 1}

\Rightarrow S_{A B C} = \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = a^{2} \sqrt{3} = \frac{3 h^{2} \sqrt{3}}{3 \tan^{2} α - 1}

.
Vậy

V = \frac{1}{3} \cdot S O \cdot S_{A B C} = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \frac{3 h^{2} \sqrt{3}}{3 \tan^{2} α - 1} = \frac{h^{3} \sqrt{3}}{3 \tan^{2} α - 1}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học