Trong không gian $O x y z$ , cho các điểm $A (2 t; 2 t; 0), B (0; 0; t)$ với $t > 0.$ Cho điểm $P$ di động thỏa mãn $\vec{O P} . \vec{A P} + \vec{O P} . \vec{B P} + \vec{A P} . \vec{B P} = 3$ . Biết rằng có giá trị $t = \frac{a}{b}$ với $a, b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $O P$ đạt giá trị lớn nhất là 3. Tính giá trị $Q = 2 a + b$ ?

5

13

11

9

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có:

\vec{O A} . \vec{O B} = 0

nên

\vec{O P} . \vec{A P} + \vec{O P} . \vec{B P} + \vec{A P} . \vec{B P} = 3

\Leftrightarrow \vec{O P} . (\vec{O P} - \vec{O A}) + \vec{O P} . (\vec{O P} - \vec{O B}) + (\vec{O P} - \vec{O A}) . (\vec{O P} - \vec{O B}) = 3

\Leftrightarrow 3 O P^{2} = 3 + 2 \vec{O P} [\vec{O A} + \vec{O B}] (1)

.
Giả sử

P (x; y; z)

thì phương trình trở thành

3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 3 + 2 t (2 x + 2 y + z) \leq 3 + 2 t \sqrt{(4 + 4 + 1) (x^{2} + y^{2} + z^{2})}

Hay

3 O P^{2} \leq 3 + 6 t O P \Leftrightarrow O P^{2} - 2 t O P - 1 \leq 0

\Rightarrow t - \sqrt{t^{2} + 1} \leq O P \leq t + \sqrt{t^{2} + 1}

Từ giả thiết suy ra

t + \sqrt{t^{2} + 1} = 3 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}

. Vậy

Q = 2 a + b = 11

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học